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Factorisation dans R[X]

Posté par
infophile 11-05-08 à 18:04

Bonsoir

Citation :
Soit 3$ \rm a\notin\pi\mathbb{Z}, factoriser dans 3$ \rm \mathbb{R}[X] le polynôme 3$ \rm P défini par :

3$ \rm P(X)=X^n+\(n\\1\)X^{n-1}\cos(a)+\(n\\2\)X^{n-2}\cos(2a)+...+\cos(na)

Indication : On pourra en chercher les racines.


J'ai commencé par remarquer que 3$ \rm P(X)=\mathcal{R}e\(X+e^{ia}\)^{n}, donc je suppose qu'il faut que je décompose dans 3$ \rm \mathbb{C}[X] (fait) mais je ne vois pas comment ensuite repasser dans 3$ \rm \mathbb{R}[X].

Merci

Posté par
perroquetre : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 19:24

Bonjour, infophile

3$ 2P(X)=(X+e^{ia})^n+(X+e^{-ia})^n

Cette idée te permet d'obtenir les racines de P (qui sont réelles, si je n'ai pas fait d'erreur de calcul)

Posté par
infophilere : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 20:48

Bonsoir perroquet

Je ne doute pas une seconde de ton astuce, mais je ne vois pas trop comment m'y prendre pour déterminer les racines

Merci de ton aide !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 20:53

Salut Kevin.


perroquet étant déconnecté, je me permets de prendre la relève:


4$\rm P(X)=0\Longleftrightarrow (\fr{X+e^{ia}}{X+e^{-ia}})^n=-1


puis on considère le module et l'argument de chaque membre.

Posté par
infophilere : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 21:22

Bonsoir Greg et merci !

Les racines n-ièmes de -1 sont de la forme 3$ \rm \exp\(\frac{(2k+1)\pi}{n}\) donc je trouve :

3$ \rm X=\frac{e^{-ia}\exp\(\frac{(2k+1)\pi}{n}\)-e^{ia}}{1-\exp\(\frac{(2k+1)\pi}{n}\)}

Vais voir si ça se simplifie ^^

Posté par
infophilere : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 21:23

J'ai oublié des i dans les "grosses" exponentielles.

Posté par
infophilere : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 21:25

Ah mettre une moitié en facteur va peut-être simplifier les choses, je teste..

Posté par
gui_toure : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 21:26

Je confirme , ça simplifie ^^

Posté par
infophilere : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 21:35

Je ne trouve pas quelque chose de réel

Je vérifie...

Posté par
gui_toure : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 21:57

Moi non plus

Posté par
lyonnaisre : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 22:54

Salut Kevin

Si tu poses : \fbox{\theta = \frac{(2k+1)\pi}{n}

Tu as :

6$ x = \frac{e^{i(\theta-a)}-e^{ia}}{1-e^{i\theta}} = \frac{e^{i\frac{\theta}{2}}[e^{i(\frac{\theta}{2}-a)}-e^{-i(\frac{\theta}{2}-a)}]}{1-e^{i\theta}} = ...

Ca se simplifi bien !

On a bien quelque chose de réel à la fin

Posté par
infophilere : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 23:05

Salut romain

Oh zut j'ai même pas eu le réflexe de changer de variable pour y avoir plus clair, le noob

On obtient sauf erreur 3$ \rm \fbox{X=\frac{\sin\(a-\frac{\theta}{2}\)}{\sin\(\frac{\theta}{2}\)}}

Merci !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 23:10

De rien

Je ne trouve pas non plus de racines réelles, plus précisément:

4$\rm X_k=-i.e^{ia}cotan(\fr{2k+1}{2n}\pi),\;k\in[0;n-1]\bigcap\bb N (sauf erreur!)

Il s'agit donc ensuite de rassembler chaque racine avec sa racine conjuguée.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 23:11

Tiens, j'ai dû faire une erreur, je revois ça!

Posté par
lyonnaisre : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 23:13

Moi je trouve pareil que toi Kevin

Après je ne sais pas, je me suis peut-être trompé !

Bonen soirée à vous trois

Posté par
Tigweg Correcteurre : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 23:21

Salut lyonnais!

En fait, comme un idiot, j'ai résolu 4$\rm 4$\rm%20P(X)=0\Longleftrightarrow%20(\fr{X+e^{ia}}{X-e^{ia}})^n=-1 ...

C'est vous qui avez raison!

Posté par
lyonnaisre : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 23:25

Salut Tigweg

Pas de problème :D !

Bonne soirée

Posté par
Tigweg Correcteurre : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 23:27

Bonne soirée!

Posté par
infophilere : Factorisation dans R[X] 11-05-08 à 23:30

Merci à tous !


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