Forum Mathématique (Lycée) :
Petit exercicie de probas

Bonjour, je veux juste savoir si j ai bien compris l énoncé d un exo de probas:


Les gènes se présentent dans les cas les plus simples en paires et sous deux formes (allèles) : A et a. Cela donne donc trois « génotypes » : les génotypes « AA » et « aa », qui sont homozygotes, et le génotype « Aa » qui est hétérozygote.
Chaque individu reçoit au hasard (hypothèse d'équiprobabilité) et de manière indépendante un gène de chacun des génotypes de ses parents.

A) Cas de l'autofécondation
Certaines plantes, par exemple le lupin, se reproduisent par autofécondation. Tout se passe comme si l'on fécondait deux plantes de même génotype, chaque gène d'une paire étant sélectionné au hasard.
a) Calculer les probabilités pour qu'une plante de génotype AA (resp. Aa, resp. aa) donne par autofécondation une plante de génotype AA (resp. Aa, resp. aa). On présentera les résultats dans un tableau à double entrée.


alors ja i trouvé pour la premiere proba 1/4 ,
la deuxieme 1/2 et la troisieme 1/4, c est ca?

Bonjour,

par autofécondation, une plante AA ne peut donner que des plantes AA

Une plante Aa donne 1/4 de AA, 1/2 de Aa et 1/4 de aa

une plante aa ne donne que des aa

par autofécondation, bien sûr.

d accord! c est vrai que c est logique !

est ce qu il faut utiliser les probas conditionnelles pour la question suivante?

Partant d'une plante hétérozygote (génération 0), on constitue par autofécondation des générations successives. On considère les événements suivants :
AAn : « la plante de la n-ième génération est de génotype AA »
Aan : « la plante de la n-ième génération est de génotype Aa »
aan : « la plante de la n-ième génération est de génotype aa »
On pose : xn = P(AAn) ; yn = P(Aan) ; zn = P(aan).
Montrer que x_{[/sub]n+1 = x[sub]}n + 1/4 y_{[/sub]n      et  y[sub]}n+1=1/2 y[sub][/sub]n .

Tu fais un arbre qui démarre au niveau n et tu ajoutes le niveau n+1  et tes égalités sautent aux yeux.

oui... je me suis rendu compte que c etait facile avec un arbre, en effet.
Par contre, je dois en deduire xn, yn, et zn, et il est clair que yn=1/3 * 1/2^n
mais je n arrive pas a exprimer xn en fonction de n, et pour zn, je sais que zn=1-xn-yn

Pourquoi 1/3 ?

je trouve yn = 1/(2^n)

dans cette population, on a de moins en moins d'hétérozygotes.

oui mais y0 = 1/3 non?

Qu'est ce que tu appelles y0 ?

y0 c est p(Aa0) donc la proba d avoir une plante heterozygote au depart

il faut pas en tenir compte?

citation :
Partant d'une plante hétérozygote (génération 0), on constitue par autofécondation des générations successives.

P(on a une plante Aa à la génération 0) = ... ?

... !!! mais bien sur! donc c ette proba vaut 1 !
comment je peux faire pour exprimer xn en fonction de n ?

Tu as remarqué que xn = zn ?

la somme = 1  

Je dirais donc que xn = (1-yn)/2 = 1/2 - yn/2 = 1/2 - 1/2^(n+1)

pareil pour zn

quand n tend vers l'infini, xn tend vers 0.5

à  vérifier  

ok, en effet, cela semble logique !!!
alors juste pour verifier que j ai bien compris:

On se place dans cette partie dans la situation où les deux parents, dont on suppose les génotypes indépendants, se fécondent pour donner des descendants. Chaque individu reçoit au hasard un gène de chacun des génotypes de ses parents. On suppose que dans la population, la probabilité qu'un individu présente le génotype AA est p, la probabilité qu'un individu présente le génotype Aa est q, la probabilité qu'un individu présente le génotype aa est r.
a) Exprimer en fonction de p, q et r, la probabilité P que le descendant soit de génotype AA, la probabilité Q que le descendant soit de génotype Aa, la probabilité R que le descendant soit de génotype aa.


d apres un arbre de probas que j ai fait, j ai dit P=p^2 Q=2p*r et R=r^2, est ce que tu confirmes? !!!

On considère juste une génération ?

oui  oui ...

sauf erreur, je pense que c'est plus compliqué que ça.

Au moment de la méiose, les cellules diploïdes donnent naissance à des cellules haploïdes

C'est comme une urne où on aura des cellules A et des cellules a  (gamètes produits par pollen et ovules chez les plantes)

On va donc apparier deux cellules haploïdes pour obtenir une cellule diploïde qui sera AA Aa ou aa (c'est comme si on tirait des boules dans une urne)

P(A) = p + q/2

P(a) = r + q/2


Ensuite P(AA) = (p + q/2)²

P(Aa) = 2(p + q/2)(r + q/2)

P(aa) = (r + q/2)²


Voilà, à vérifier, car je n'ai jamais fait ce genre d'exercice.  

et bien en fait dans la suite de  l exo, je dois exprimer P,Q,et R en fct de T=p + 1/2 q et verifier que T²=4PR alors peut etre cela te met il sur la voie, mais je doute que pour "un simple exo de proba" on nous embete avec tout ca noN?

citation :
d apres un arbre de probas que j ai fait, j ai dit P=p^2 Q=2p*r et R=r^2, est ce que tu confirmes? !!!

Ce que tu as écrit ne peut pas être juste, car les individus AA sont obtenus avec des parents AA ou Aa et donc l'expression de P(AA) doit tenir compte de p et de q, pas seulement de p. On n'est plus dans le schéma d'autofécondation, puisqu'on a deux parents indépendants.

C'est un exercice donné dans quel cursus ?

en prepa capes et plus precisement en prépa oral 2, l epreuve sur dossier quoi.

OK

je pensais que tu étais en fac de bio, et plus particulièrement en génétique, matière que j'ai étudiée autrefois.  

Je crois que pour comprendre cet exo, il faut comprendre la reproduction des plantes. Au niveau maths, je n'ai pas le niveau pour aider un étudiant qui passe le capes

Au niveau bio, je te mets un lien qui devrait éclaircir tout ça : la loi de Hardy Weinberg

Relance ton sujet pour qu'un vrai pro des probas te réponde.  

Je ne pense pas que tu tombes là-dessus au capes, car les profs de maths qui ont des notions de biologie sont assez rares.  

ok, mais c est pas grave, j ai la correc demain, je peux t en parler si ca t interesse...
Merci de ton aide !
je suis allergique à la bio!
bonne soiree

Je viens de faire une recherche sur l'île et j'ai trouvé un exo qui donne dans l'énoncé les proba que j'ai calculées à 19:28  

Je maintiens mes réponses.  

Tu as mal recopié ton énoncé... ce n'est pas

citation :
et bien en fait dans la suite de  l exo, je dois exprimer P,Q,et R en fct de T=p + 1/2 q et verifier que T²=4PR alors peut etre cela te met il sur la voie, mais je doute que pour "un simple exo de proba" on nous embete avec tout ca noN?

mais c'est Montrer que Q² = 4PR  ce qu'on appelle la loi de Hardy Weinberg

du coup, j'ai renoncé à faire la suite  


Je reprends :

P(A) = p + q/2

P(a) = r + q/2


Ensuite

P = P(AA) = (p + q/2)²

Q = P(Aa) = 2(p + q/2)(r + q/2)

R = P(aa) = (r + q/2)²


Exprimer P,Q,et R en fct de T = p + 1/2 q

On a P = P(AA) = T²  car P(A) = T

Comme on n'a que des gamètes A ou a, P(a) = 1 - T

Q = 2T(1-T)

R = (1 - T)²




Montrer que Q² = 4PR   :

Q² = (2(p + q/2)(r + q/2))² = 4(p + q/2)²(r + q/2)² = 4PR

ou autre calcul :

Q² = (2T(1-T)² = 4T²(1-T)² = 4PR


CQFD  

et bien, je te remrcie beaucoup pour ton aide si precieuse...
bonne soiree.

Tu as corrigé l'exo en cours ?