Forum : étude de fonctions :
DM fonctions

bonsoir est-ce-que quelqu'un pourrait m'aider pour un exercice de maths, je n'arrive pas à faire les 4 premières questions:
soit f définie par: f(x)=(x²+x-6)/(x²-3x-10), et C sa courbe représentative;
1)déterminer l'ensemble de définition de f
2)déterminer les limites de f en - l'infini et + l'infini.en déduire que C possède une asymptote horizontale et préciser son équation réduite.
3)a.montrer qu'il existe 3 réels a, b, c tels que pour tout réel x appartenant à R\{-2;5}:
f(x)=a+(b/x+2)+(c/x-5)
b.déterminer les limites de f à droite et à gauche en -2 et en 5. en déduire que C possède deux asymptotes verticales dont on précisera, pour chacune d'elle, l'équation réduite.
c.déterminer la position relative de C par rapport à son asymptote horizontale.
d.déterminer les coordonnées du point I d'intersection de C de son asymptote horizontale.
4)a.déterminer l'ensemble de dérivabilité de f et déterminer sa fonction dérivée f'.
b.étudier le signe de f' et en déduire le tableau de variations de f.
c.déterminer l'équation réduite de la droite T tangente à C au point I.
MERCI

    Bonsoir. Les 4 premières questions ... il n'y en a que 4 !...

1° ensemble de définition :  (jette un coup d'oeil à la question 3), on te donne la réponse ...)
2) Si tu fais la question 3) avant , tu auras la réponse pour l'asymptote horizontale ...
3) et ces asymptotes verticales sont forcément  :  x=-2  et  x=5

bonsoir
j'ai déjà remarqué
mai le problème c'est que je ne sais pas comment faire pour trouver ces résultats, est-ce qu'il faut résoudre le trinôme (dénominateur)?

étudie le domaine de définition du dénominateur, calcule delta et trouve les racine apré tu auras ]-linfini,..]U[...,+linfini[

par contre pour les rééls a b c je m'en mêle les pinceaux: dès que j'ai réduit au même dénominateur, je n'arrive pas à identifier a b c , c'est bizzzare

merci pour l'astuce d4-fr3sh

Que tout cela est mal rédigé dans ce que perruche1617 et  d4-fr3sh ont écrit  !

(d4-fr3sh le dénominateur existe pour tout x appartenant à )

Par contre f(x) existe si et seulement si x² - 3x - 10 0 (une fraction existe si et seulement son dénominateur n'est pas nul !)

Donc pour savoir s'il existe des valeurs interdites pour f(x) , il faut résoudre  : x² - 3x - 10 = 0

Ce qui te donnera les racines du polynôme x² - 3x - 10

merci bourricot!
mais la question 3 m'embrouille un peu avec tous ces x, a b ,c ...

après avoir mis a + b/(x+2) + c/(x-5) au même dénominateur que trouves tu ?

j'ai trouvé a=1 mais après...

non met bourricot je sais ce que c'est les valeurs interdite. C'était une indication par une réponse , il doit étudié le domaine sans les valeur interdite. Exemple: si c'es R/-{3} le domaine sera ]-linfini,3]U[3,+linfini[
si c'est R/-{3,6} alr le domaine est ]-linfini,3]U[3,6]U[6;+linfini[
je me sui mal exprimé c'est vrai

Oui mais (et non met )

citation :
Si c'est R/-{3,6} alr le domaine est ]-linfini,3] U [3,6] U [6;+linfini[

Oh que non !!

Si D_f = R-{3,6} alors D_f = ]- ; 3[ U ]3 ; 6[ U ]6 ; +[

4 détails qui changent tout !

Bonjour,

Pour la 3a, voir ici

je bloque pour la position relative et le point d'intersection (question 3c et 3d)

kelkun peut il m'aider pour ces kestions rapidement?

Soit y = .... l'équation de l'asymptote horizontale.

Etudier la position relative de la courbe par rapport à l'asymptote : c'est étudier si la courbe est au-dessus ou au dessus de l'asymptote

donc étudier si f(x) est > ou < à y

donc étudier si f(x) - .... < 0 ou > 0

Idem pour l'asymptote oblique.

P.S. On n'aime pas beaucoup les "rapidement" d'urgence" et autres .....

au fait pour la question 2 j'ai trouvé une asymptote oblique d'équation y=0 c'est bizarre est-ce que c'est bon?

En effet c'est faux !


Avec la forme f(x) = a + b/(..) + c/(...) la limite en + et - est facile à calculer !

Que vaut a ?

oui mais le problème c'est que cette question passe avant celle des réels a b c donc on ne peut pas utiliser la forme de la question 3)

Donc pour lever l'indétermination du genre /

on met le terme de plus haut degré en facteur au numérateur et au  dénominateur .... méthode vue obligatoirement en cours ! relis les exos faits en classe.

c'est ce que j'ai fait mais en simplifiant les x² il ne me reste plus que des fonctions usuelles et leurs limites valent 0 et donc par quotient je trouve 0 en + et- linfini!

Tu es en 1ère S ?

Pour la question 2 :

x²+x-6 = x²[1+(1/x)-(6/x²)]
x²-3x-10 = x²[1-(3/x)-(10/x²]

Donc f(x) = (x²+x-6)/(x²-3x-10) = [1+(1/x)-(6/x²)]/[1-(3/x)-(10/x²] qui tend vers ??? quand x tend vers -∞ ou vers +∞ ?

oui mais il n'y aurait pas un 1 qui trainerait ou numérateur et au dénominateur après avoir mis x²  en facteur ???

non bourricot

merci marcel enfin je comprend mieux
oui je suis en 1ère s

C admet donc une asymptote horizontale D d'équation y = 1

Pour la question 3c :

La position de C par rapport à D est donnée par le signe de f(x)-1 = (x²+x-6)/(x²-3x-10) - (x²-3x-10)/(x²-3x-10) = (x²+x-6-x²+3x+10)/(x²-3x-10) = (4x+4)/(x²-3x-10) = 4(x+1)/[(x+2)(x-5)]

Il ne reste qu'à faire un tableau de signes ...

Pour la question 3d :

f(x) = 1 f(x)-1 = 0 4(x+1)/[(x+2)(x-5)] = 0 x = -1

Donc I(-1;1)

merci encore MARCEL
mais pour la 3)b quelle forme de la fonction dois-je prendre? celle des réels a b c ou celle que j'avais factorisé?
sinon pour l'ensemble de dérivabilité j'ai trouvé f ds R\{-2;5} et sa dérivée est:
f'(x)=(2x²-14x-28)/(x²-3x-10)
je suis pas sure, est-ce que c'est bon?

pouvez-vous m'aidez pour la question 3.b) SVP?

Pour la question 3b :

f(x) = (x²+x-6)/(x²-3x-10) = (x²+x-6)/[(x+2)(x-5)]

Lorsque x tend vers -2 :
x+2 tend vers 0 (vers 0- si x tend vers -2 par la gauche, vers 0+ si x tend vers -2 par la droite)
x-5 tend vers -7
x²+x-6 tend vers -4

Donc :
lim _-2- f = -∞
lim _-2+ f = +∞

Donc la droite d'équation x = 2 est asymptote verticale à C

MERCI
sinon est-ce que j'ai eu bon à la quest.4? voici ma réponse:
pour l'ensemble de dérivabilité j'ai trouvé f ds R\{-2;5} et sa dérivée est:
f'(x)=(2x²-14x-28)/(x²-3x-10)
je suis pas sure, est-ce que c'est bon?

Pour la question 4a :

f(x) = (x²+x-6)/(x²-3x-10)
f est une fraction rationnelle donc est dérivable sur D_f = R\{-2;5}

f'(x) = [(2x+1)(x²-3x-10)-(2x-3)(x²+x-6)]/(x²-3x-10)²
= [(2x³-6x²-20x+x²-3x-10)-(2x³+2x²-12x-3x²-3x+18)]/(x²-3x-10)²
= [(2x³-5x²-23x-10)-(2x³-x²-15x+18)]/(x²-3x-10)²
= (2x³-5x²-23x-10-2x³+x²+15x-18)/(x²-3x-10)²
= (-4x²-8x-28)/(x²-3x-10)²
= -4(x²+2x+7)/(x²-3x-10)²

    Non, Perruche. Ton dénominateur devrait être celui-là, mais au carré !
Et le numérateur n'est pas celui que j'ai ; je vérifie ...

je n'ai pas compris jacqlouis, ça veut dire que j'ai faux? alors marcel m'a corrigée à ce que je vois

    Ton résultat pour la dérivée est inexact !
Marcel ne t'a pas corrigée (il n'aurait pas osé), mais il a donné une autre réponse .... qui est la bonne ! bien sûr ...

ah d'accord je comprend mieux maintenant MERCI

encore une dernière petite question(ou peut-être avant dernière):comment fait-on pour a tangente T?

on applique la formule du cours :

Une équation de la tangente à la courbe représentant f en un point d'abscisse a est y = ... (... - ...) + ...

au fait, pour la question 4.b), c'est normal que je trouve delta négatif en étudiant le signe du trinôme x²+2x+7?

C'est possible de trouver un discriminant négatif pour x² + 2x + 7

cela signifie donc que x² + 2x + 7 est toujours ....

donc -4(x²+2x+7)/(x²-3x-10)² toujours .....

donc f '(x) toujours ....

donc f ..... sur D_f

pas compris
sinon pour la tangente voici ce que j'ai trouvé comme équation:
y=(-4/6)(x+1)+1
est-ce que c'est bon?

une équation de la tangente en I est

y = f '(-1) (x + 1) + f(-1)

je te laisse le soin de faire les calculs .... mais il me semble que ce que tu as écrit est plausible.

Pour le signe de la dérivée : il faut étudier le signe de -4(x² + 2x + 7)/(....)²

Pour le signe d'un polynôme du second degré, je te laisse regarder ton cours

soit le polynôme ax² + bx + c

si < 0 alors ax² + bx + c est du signe de ..... pour tout x de  

Donc x² + 2x + 7 est toujours ....

donc -4(x² + 2x + 7) est toujours ....

donc -4(x² + 2x + 7)/(....)² est toujours ....

...est toujours du signe de a?
pour l'équation de T je pense qu'il faut développer et réduire ensuite, non?
j'ai trouvé-4/6x)+(2/6)
c'est correct?

pardon:
j'ai trouvé [-4/6x]+[2/6]

une équation réduite c'est y = ax + b

et -4/6 cela se simplifie ! non ?

et 2/6  cela se simplifie ! non ?

Voici ce que tu devais trouver comme représentation graphique de la fonction f sur une calculatrice graphique :  

mais je pense avoir simplifié au maximum, non?

merci pour la représentation graphique