Forum : produit scalaire :
produit scalaire avec un cube

bonjour,voila c'est la première fois que j'écris sur ce site,je vous écrit de grand quevilly.
voila je bloque complètement sur un exercice,j'aimerai qu'on m'aide.merci d'avance
voila le sujet :

On considère un cube ABCDEFGH.
on note "a" la longueur des arêtes de ce cube.
on se donne un réel "q" strictement positif.
on considère le point L tel que : AL= q AE
On considère enfin le point K,barycentre du système {(L,1)},{(B,q²)},{(C,q²)}

-question 1 : Exprimer en fonction de "q" et de "a" le volume du tétraède ABDL.

-question 2 : a : Exprimer BK en fonction de BL et BD.
                    b : démontrer que BK.LD = 0
                    c : démontrer que le point K est l'orthocentre du triangle BDL.

-question 3 : a : Démontrer que AK/LB = 0
                    b : Démontrer que K est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BDL).

-question 4 : a : démontrer que l'aire du triangle BDL est égale à : 1/2 *2q²+1 a²
                    b : déterminer la valeur de "q" pour laquelle l'aire du triangle BDL est égale à celle des faces du cube.
                    c :  Quelle relation simple a-t-on entre les longueurs AK et AL dans ce cas ?

p.S : tout les terme (AK,LD...) ont tous une fleche en haut,signifiant le produit scalaire.
voila,s'il vous plait aidez moi,je vous en remercie d'avance.bisoux

Bonjour,

Où en es-tu ? Que proposes-tu ?

Nicolas

bonjour jai le meme exercice et jai aussi beaucoup de mal...
voila ce ke jai trouvé pour le début

1.  Volume de ABDL = 1/3 (AireABD . AL)
        AL = q AE=q a
        AireABD = (DB.AD)/2= (a rac2 . a)/2
d'ou Volume ABDL = (a^2 rac(2).qa).1/3 = 3/2 (q a^3 rac2)

voila? je ne sai pas si c'est correct :s si quelqu'un pourrai nous aider ce serai sympas.
merci

oui donut j'ai trouver pareil
commencé par la formule pour un volume : 1/3 * base * hauteur
en développant j'ai trouvé ça (j'ai un peu galérer avec un peu d'oubli de Pythagore)
mais voila je suis pas sure,et le reste je bloque et ça m'agace.

2a.    k barycentre de (L,1); (B,q^2) ; (D, q^2)
      
donc KL+ q^2KB + Q^2KD = 0 (vecteurs)
        q^2Bk = q^2KD + KL
        q^2BK = -q^2DK + KL
        q^2Bk = -q^2DL
        BK=-DL
        BK=LD
        BK=- BL + BD (chasles)

essaye de voir si tu trouve pareil....

je up le topic car moi aussi j'ai besoin d'aide...
Donut pour la question 2a je suis d'accord avec toi pour la premiere ligne :
k barycentre de (L,1); (B,q^2) ; (D, q^2)
      
donc KL+ q^2KB + Q^2KD = 0 (vecteurs)
mais apres je suis pas sur du coup tu met   q^2Bk = q^2KD + KL mais c'est plutot  
q^2Bk = -q^2KD - KL
donc ça fausse ton resultat final...

oui c vrai swordfly.
en rectifiant mon erreur cela me donne:
      KL+q^2KB+q^2KD=O
      q^2KB=-q^2KD-KL
      -q^2KB=-1(q^2KD+KL)
      q^2BK=-1(-q^2DK+KL)
      q^2BK=q^2DL
      BK=DL
donc BK = DB+ BL

ensuite pour les questions suivantes jai un peu de mal..... mais pour la question 4a je peux vous proposer:

4.a     Dans le triangle rectangle (BAL) en A : d'après pythagore : LB^2=LA^2+BA^2
         Dans _____________________ (ALD) __________________________ : LD^2=LA^2+AD^2
or AB=AD=a donc LB^2=LD^2 soit LB=LD
          Ainsi le triangle BDL est isocele en L

         Si on suppose I milieu de (BD), le segment LI  est la hauteur issue de L sur BD, donc (LI) perpendiculaire à (BD).

         On a donc Aire(BDL) = 2.Aire(LID)

Calculons Aire(LID) :

on a:  BD=a.rac(2)   (en tant que diagonale du carré ABCD)
         ID=DB/2= a.rac(2). 1/2
         ID^2= 2a^2 . 1/4 = a^2/2
         LD^2=LA^2+AD^2 = q^2.a^2+a^2
         LI^2=LD^2-ID^2 = q^2.a^2+a^2-(a^2/2) = a^2(q^2+1- 1/2 ) = a^2/2 .(2q^2+1)
         LI= (a.rac(2q^2+1))/ rac(2)

Aire(LIB) = LI . ID . 1/2
              = ( (a.rac(2q^2+1)) / rac(2) )  .    a.rac(2)/2  .  1/2
              = ( a^2 . rac(2q^2+1) )  .  1/4


D'ou  Aire BDL=2Aire LID   = (a^2  . rac(2q^2+1) / 2

       donc Aire BDL = 1/2  . rac(2q^2+1) . a^2        (cqfd)

Toujours en ce qui concerne la question 2a tu fais une erreur de calcul
tu ne peux pas mettre que : -q^2DK+KL=-q^2DL (vecteurs) si ce serait -q^2DK-q^2KL ok saurait été bon car

-q^2DK-q^2KL = -q^2 * (DK+KL) = -q^2DL   MAIS la ce n'est pas le meme calcul