tu cherches une fbs f telle que f(u,u)=f(v,v)=f(w,w)=1 et f(u,v)=f(u,w)=f(v,)=0
f est représentée par une matrice M 3x3 symétrique
donc tu n'as "que" 6 coef à déterminer

Bonsoir, elotwist

Soit f le produit scalaire recherché.
La matrice de f dans la base  (u,v,w) est égale à
Notons M la matrice de f dans la base canonique de R³ et P la matrice de passage de la base canonique à (u,v,w).
On a:    
Donc:    

Il ne reste plus qu'à faire les calculs. Maple donne pour M:


                           [ 3    -4     2]
                           [-4     6    -3]
                           [ 2    -3     2]

salut vous

Merci à tous les deux.
J'ai un autre souci cette fois avec les adjoints...
Voici l'énoncé :
Soit E un espace euclidien de dimension n. Soit f un endomorphisme de E vérifiant l'hypothèse our tout x de E :
(H) ||f(x)||||x||
1- Montrer que quelque soit x appartenant à E :<x,f(f*(x))>||x||.||f*(x)||.
En déduire que quelque soit x appartenant à E ||f*(x)||||x||.
2-Soit x appartenant à E tel que : f(x)=x. En utilisant l'élément f(tx+y), pour tout t appartenant à R et tout y appartenant à E, montrer que l'on a, pour tout y appartenant à E :
<f(x),f(y)>-<x,y>=0.
En déduire que f*(x)=x
3-Soit x appartenant à E, établir que l'on a : f(x)=x équivalent à f*(x)=x.

d'après mes vagues souvenirs:
<x,f(f*(x))> = <(f*(x),f*(x)> =||f*(x)||²(1)

non on utilise l'inégalité de Schwarz:
<x,f(f*(x))> < ||x|| ||f(f*(x))|| < ||x|| ||f*(x)|| d'après l'hypothèse
l'autre relation s'en déduit en utilisant (1)

Salut Peroquet !
J'ai un enorme doute sur la matrice de passage que tu as utilisé pour résoudre l'exercice avec maple.
tu as utilisé
p = [1 -1 1]
    [1  0 1]
    [0  1 1]
Perso j'aurais eu tendance à mettre les coordonnées des vecteur (u,v,w) dans l'autre sens...
Est ce que je pourrais réavoir une définition correcte de matrice de passage avec un exemple. Par avance je vous en remercie !

Bonjour, elotwist

J'ai fait effectivement une erreur en recopiant    

Le résultat correct est le suivant


                             [ 6     3    -4]
                             [ 3     2    -2]
                             [-4    -2     3]

Donc la matrice de passage de la base u1 u2 u3 à la base e1 e2 e3 est bien :

u1 u2 u3
[       ]e1
[       ]e2
[       ]e3

Par exemple ici la matrice de passage de la base u,v,w à la base e1,e2,e3 est :
[ 1 1 0]
[-1 0 1]
[ 1 1 1].
Encore un truc qui cette fois est bon mais que j'ai du mal à voir pourquooi la matrice de la fbs que je cherche est forcément la matrice identité dans la base {u,v,w}?

Bonjour,

il faut bien comprendre qu'un produit scalaire B est une forme bilinéaire symétrique définie positive.(u,u)

Autrement dit, dans toute base orthonormée (u,v,w), on aura:

B(u,u)=B(v,v)=B(w,w)=1 et

B(u,v)=B(v,u)=B(u,w)=B(w,u)=B(v,w)=B(w,v)=0.

En d'autres termes, la matrice de B dans (u,v,w) est l'identité.

2Merci bien !

j'ai un autre probleme pour determiner une base orthonormale.
J'ai du montrer que R² est un espace euclidien pour le produit scalaire <x,y>=x1.y1+2.x1.y2+2.x2.y1+5.x2.y2.
J'ai revérifier que c'etait un produit scalaire en montrant que <x,y> était :
- linéaire par rapport à la première variable
- symétriqque
- sa forme quadratique définie positive
J'ai conclu en disant que c'etait bien un espace euclidien car
R² est un espace vectoriel sur R de dimension finie.

Maintenant on me demande de trouver une base orthonormale.
Mon idée était de diagonaliser A pour avoir une base de vecteur propre que j'aurais orthogonalisé puis normé.
Seulement pour A, je trouve que son polynöme caractéristique est (x-3+22)(x-3-22)
Puis pour les vecteurs propres je trouve les vecteurs nuls... ce n'est à mon avis pas normal parce que je ne peux rien faire avec cela...
Est ce mes calculs qui sont faux(meme si je les ai refait plusieurs fois) ou la méthode qui n'est pas correcte?

Bonjour

En effet, ce n'est pas normal de trouver des vecteurs propres nuls, vu que par définition si est une valeur propre, il y a des vecteurs propres non nuls!

Alors, avec ta méthode les valeurs propres sont justes et un vecteur propre associé à 3+22 est par exemple (1,1+2)

De rien.

C'est la méthode qui n'est pas correcte:

toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée, par contre la base orthonormale obtenue avec Gram-Schmidt à partir d'une base quelconque de vecteurs propres n'est pas nécessairement encore une base de vecteurs propres.

Le plus simple ici est de trouver deux vecteurs orthogonaux pour B:

si on impose que le premier est (0;1), on trouve que le deuxième vérifie 2y1+5y2=0, donc (5;-2) convient pour le deuxième.

Reste à présent à les normer en les divisant par leurs normes (pas usuelle, attention!Celle associée à ton produit scalaire) respectives.

Pardon Camélia, je ne t'avais pas vue (rebonjour!).

Salut Tigweg, je ne sais plus au combienième salut on en est...

Oui, bien sur, d'ailleurs pour avoir une base orthonormale le mieux est de faire la décomposition en somme de carrés. Seulement mon sang n'a fait qu'un tour en voyant ceci:

J'ai l'impression de ne plus rien comprendre... Dans d'autres exercices pour trouver une base orthonormale il fallait que je diagonalise ma matrice que je trouvais les vecteurs propres, que je les rendent orthogonaux si nécessaire et que je les norme.
donc d'apres ce que vous me dites il y a une différence dans les énoncés suivant : "Trouver une base orthonormale dans laquelle la matrice est diagonale" et "trouver une base orthonormale"
J'essaie de faire la méthode que vous me proposez et je vais y réfléchir un peu...

d'accord. mais je suis un peu perdue. le premier vecteur (0,1) que vous me suggérez de prendre c'est au hasard ? j'aurais pu prendre (1,0) aussi par exemple ?
Et comment fait-on pour déterminer la norme d'un produit scalaire qui n'est pas usuel... Faut-il calculer la racine carré de q(u), c'est à dire chercher la forme quadratique qui lui est associé et en prendre la racine carrée ?

Oui, je l'ai pris au hasard.

Comme ta f.b.s. n'admet aucun vecteur isotrope, tout vecteur non nul admet un orthogonal de dimension 1 pour B, donc convient.

>elotwist Oui, il y a une différence. Le changement de base pour un endomorphisme linéaire est de la forme et pour une forme bilinéaire il est de la forme . Ca tombe bien, car si P est orthogonale ! on peut donc le faire à partir des vecteurs propres. En fait, là tu trouves (1,1+2) et (1,1-2) qui sont bien orthogonaux pour ta forme; il te reste à les normaliser...

>tigweg oui, c'est bien ça!

OK, merci Camélia!


Vu ta réponse que tu viens de faire à elotwist, je me demande si je n'ai pas dit une bêtise finalement tout à l'heure:

la réponse*

Il ne suffit pas d'orthonormaliser une base de vecteurs propres pour retomber sur des vecteurs propres... Mais en principe les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont automatiquement orthogonaux deux à deux. Le problème se pose dans les sous-espaces propres de dimension supérieure à 1, il faut choisir une base orthonormale dans chacun d'eux et là, Gram peut servir!

Donc ici comme ma matrice de passage est orthogonale je peux utiliser ma méthode...

Oui elotwist! Il suffit de normaliser les vecteurs propres pour cette forme (la norme est bien (q(x,y))

Ah oui, compris Camélia, merci!

En effet, je n'avais jamais réalisé que le fait que toute matrice symétrique réelle soit diagonalisable en base orthonormée impliquait que les espaces propres de cette matrice étaient nécessairement orthogonaux!

C'est quand même chouette les maths!

Oh, oui!

D'accord je fais tout ça.
Pour déterminer une base orthonormale pour la matrice suivante il faut donc que j'utilise l'autre méthode car elle n'est pas orthogonale .
B=[1  2  1]
  [2  7 -1]
  [1 -1  9]
De plus j'ai déjà essayer de la diagonaliser mais là je n'arrive même pas à factoriser le polynome caracteristique qui est
P(x)=15-73x+17x²-x^3.

Ok, dans ce cas décompose la forme quadratique avec l'algorithme de Gauss, et essaie de procéder comme avant!