Forum : produit scalaire :
correction vecteurs et coordonnées

Bonjour, pouvez vous me corriger svp ?

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O,i,j).
Soient A(3;1), B(1;3) et C(7;5). On fera une figure.

1) Montrer qu'il existe un point D, dont on déterminera les coordonnées, tel que ABDC soit un rectangle.

2) Soit E barycentre des points pondérés (A;1) et (C;3) Calculer les coordonnées de E.
Calculer   et en déduire une valeur approchées à 0.1° près de EBD. (=angle EBD).

3) Déterminer une équation de la droite passant par E et perpendiculaire à (AD).
Que représente   pour delta ?

4) Déterminer une équation de la médiatrice d de [BC].

5) Déterminer une équation du cercle C circonscrit au triangle ABC, sans utiliser les coordonnées de son centre.


Mes réponses :

1)
ABDC est un parallélogramme
ssi vect(CD) = vect(AB)
ssi (xD-7;yD-5) = (-2;2)
ssi (xD;yD) = (5;7)

Soit D(5;7)

vect(AB) (-2;2)
vect(BD) (4;4)
Donc vect(AB).vect(BD) = -8+8 = 0
Donc (AB) et (BD) sont perpendiculaires
Donc ABDC est un rectangle (car ABDC est de plus un parallélogramme)

2)
E = barycentre {(A;1);(C;3)}
Donc 4.vect(OE) = vect(OA) + 3.vect(OC)
Donc 4xE = xA + 3xC = 24 et 4yE = yA + 3yC = 16
Donc xE = 6 et yE = 4
Donc E(6;4)

vect(BE) (5;1)
vect(BD) (4;4)
Donc vect(BE).vect(BD) = 20+4 = 24

vect(BE) (5;1) donc BE² = 5²+1² = 25+1 = 26 donc BE = √26
vect(BD) (4;4) donc BD² = 4²+4² = 16+16 = 32 donc BD = √32 = 4√2

24 = vect(BE).vect(BD) = BE.BD.cos(EBD) = √26.4√2.cos(EBD) = 4√52.cos(EBD) = 8√13.cos(EBD)
Donc cos(EBD) = 24/(8√13) = 3/√13
Donc Angle(EBD) ≈ 33,7°

3)
(AD) a pour coefficient directeur (yD-yA)/(xD-xA) = 6/2 = 3
Donc Δ a pour coefficient directeur -1/3 (car les produit des coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires vaut -1)
Donc Δ a une équation de la forme y = -(1/3)x+k
Δ passe par E donc yE = -(1/3)xE+k donc 4 = -2+k donc k = 6
Donc Δ a pour équation y = -(1/3)x+6

vect(AD) est un vecteur normal à Δ

4)
M(x;y) € d ssi BM = CM
ssi BM² = CM²
ssi (x-1)²+(y-3)² = (x-7)²+(y-5)²
ssi x²-2x+1+y²-6y+9 = x²-14x+49+y²-10y+25
ssi 12x+4y-64 = 0
ssi 3x+y-16 = 0
ssi y = -3x+16

Donc d a pour équation y = -3x+16

voilà, j'arrive pas 5), si vous pouviez me corriger ce serait très sympas !

Bonjour
1) 2) ok
pour le 3) tu dis soit M (x;y) un point de
EM.AD=0 tu trouves directement ton équation
(x-6)*2+(y-4)*6=0
x-6+3y-12=0
x-3y-18=0
y=-1/3x+6

4)
médiatrice de BC soit I milieu de BC d'où I(4;4)
IM.BC=0
(x-4)6+(y-4)2=0
3x-12+y-4=0
y=-3x-16

5)ABC est un triangle rectangle en A donc BC est un diamètre du cercle
tout point M du cercle forme un triangle BCM rectangle en M
MB²+MC²=BC²

citation :
Mes réponses

Alors ça c'est énorme !
C'est un copié-collé de l'aide que je t'aide apportée ici sur un autre forum !
Pour la question 5, je t'ai aiguillé, mais ton mot d'ordre semble être fainéantise ...

Je fais ci-dessous un copié-collé intégral de la question posée et de la réponse reçue :

QUESTION   Proposé par : raoul le : 10/05
besoin d'aide sur produit scalaire avec coordonnées

Bonjour, je suis en première et je ne comprends strictement rien ! C'est un nouveau chapitre et je suis un peu largué, merci pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter !

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O,i,j).
Soient A(3;1), B(1;3) et C(7;5). On fera une figure.

1) Montrer qu'il existe un point D, dont on déterminera les coordonnées, tel que ABDC soit un rectangle.

2) Soit E barycentre des points pondérés (A;1) et (C;3) Calculer les coordonnées de E.
Calculer BE . BD (=vecteur BE scalaire vecteur BD) et en déduire une valeur approchées à 0.1° près de EBD. (=angle EBD).

3) Déterminer une équation de la droite delta passant par E et perpendiculaire à (AD).
Que représente AD (=vecteur AD) pour delta ?

4) Déterminer une équation de la médiatrice d de [BC].

5) Déterminer une équation du cercle C circonscrit au triangle ABC, sans utiliser les coordonnées de son centre.


Voilà, vous avez vu à quel point c'est assez complexe !

Merci pour vos futures réponses qui me seront d'un grand secours.

Encore merci

RÉPONSE 1 Proposé par : Marcel  -  le : 10/05

Bonjour,

A(3;1)
B(1;3)
C(7;5)

1)
ABDC est un parallélogramme
ssi vect(CD) = vect(AB)
ssi (xD-7;yD-5) = (-2;2)
ssi (xD;yD) = (5;7)

Soit D(5;7)

vect(AB) (-2;2)
vect(BD) (4;4)
Donc vect(AB).vect(BD) = -8+8 = 0
Donc (AB) et (BD) sont perpendiculaires
Donc ABDC est un rectangle (car ABDC est de plus un parallélogramme)

2)
E = barycentre {(A;1);(C;3)}
Donc 4.vect(OE) = vect(OA) + 3.vect(OC)
Donc 4xE = xA + 3xC = 24 et 4yE = yA + 3yC = 16
Donc xE = 6 et yE = 4
Donc E(6;4)

vect(BE) (5;1)
vect(BD) (4;4)
Donc vect(BE).vect(BD) = 20+4 = 24

vect(BE) (5;1) donc BE² = 5²+1² = 25+1 = 26 donc BE = √26
vect(BD) (4;4) donc BD² = 4²+4² = 16+16 = 32 donc BD = √32 = 4√2

24 = vect(BE).vect(BD) = BE.BD.cos(EBD) = √26.4√2.cos(EBD) = 4√52.cos(EBD) = 8√13.cos(EBD)
Donc cos(EBD) = 24/(8√13) = 3/√13
Donc Angle(EBD) ≈ 33,7°

3)
(AD) a pour coefficient directeur (yD-yA)/(xD-xA) = 6/2 = 3
Donc Δ a pour coefficient directeur -1/3 (car les produit des coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires vaut -1)
Donc Δ a une équation de la forme y = -(1/3)x+k
Δ passe par E donc yE = -(1/3)xE+k donc 4 = -2+k donc k = 6
Donc Δ a pour équation y = -(1/3)x+6

vect(AD) est un vecteur normal à Δ

4)
M(x;y) € d ssi BM = CM
ssi BM² = CM²
ssi (x-1)²+(y-3)² = (x-7)²+(y-5)²
ssi x²-2x+1+y²-6y+9 = x²-14x+49+y²-10y+25
ssi 12x+4y-64 = 0
ssi 3x+y-16 = 0
ssi y = -3x+16

Donc d a pour équation y = -3x+16

5)
(C) a une équation du type (x-a)²+(y-b)² = R²

(C) passe par les trois points A, B, C

Donc :
{
(xA-a)²+(yA-b)² = R²
(xB-a)²+(yB-b)² = R²
(xC-a)²+(yC-b)² = R²
}

Donc :
{
(3-a)²+(1-b)² = R²
(1-a)²+(3-b)² = R²
(7-a)²+(5-b)² = R²
}

A résoudre ...

RÉPONSE 2 Proposé par : raoul  -  le : 10/05

Ok, merci !!

Ceci dit, pour la question 5, la réponse de yajax est bien plus appropriée et plus simple que la mienne