Changement de base

Posté par eva16 eva16

Bonjour, je voudrais avoir de l'aide pour cet exercice et eventuellement des "pistes"merci d'avance.


Soit (i;j) une base du plan

ON considére les vecteurs u=2i+j et v=i+2j

1)les vecteurs u et v forment ils une base du plan vectoriel?

2)exprimer i en fonction de u et v,puis j en fonction de u et v

3)Soit w(1;-3) dans la base(i;j)
a)exprimer w en fonction de i et j

b) en déduire une expression de w en fonction des vecteurs u et v

c)quelles sont les coordonnées de w dans la base (u,v)?

4) Soit le vecteur t(-2;1) dans la base (u,v)

a)exprimer t en fonction de u et de v

b)en déduire une expression de t en fonction de i et j

c) quelles sont les coordonnées de t dans la base (i;j)?

Merci d'avance

Posté par watik watik

bonjour

c'est du calcul vectoriel la seule indication est d'effectuer les calcules de i et j en fonction de u et v exactement comme si tu résolvais un système deux équations à deux inconnues par substitution.
Le reste est du calcul

Posté par eva16 eva16

D'accord, la je suis sur un autre exercice et dés que je l'aurais fini je posterais mes réponses merci

Posté par eva16 eva16

Pour la 1 je dois montrer que les vecteurs ne sont pas colinéaire c'est ça?

Posté par eva16 eva16

Y'a t'il quelqu'un pour m'aider SVP?!?

Posté par watik watik

oui en dimension 2 si tu as 2 vecteurs indépendants alors ils forment une base.
Pour montrer que u et v sont indépendant il te suffit de montrer que det(u,v) non nul ou ce qui revient au même de montrer que
qq soient a et b réels au+vn=0 ==> a=b=0
cette dernière propriétée t'amènera à résoudre un système linéaire d'inconnues a et b dont la résolution te donne a=b=0.

Posté par eva16 eva16

Désolé mais je n'ai pas compris,on ne peux pas juste dire que les vecteurs ne sont pas colinéaire avec la fameuse formule xuyv-xvyu?

Posté par eva16 eva16

Personne pour m'aider????????? je n'ya arrive pas c'est pour demain!!

Posté par pgeod pgeod

bonsoir,

la fameuse formule est justement celle dont ta parlé Watik :
det(u,v) non nul <=> xy' - y'x 0

...

Posté par eva16 eva16

Donc pour la 1) je fais 2i2j-ji different0

la formule me pose probléme, je n'y arrive pas je prefere quand on a des coordonnées

Posté par pgeod pgeod


Mais tu as les coordonnées :

ON considére les vecteurs u=2i+j et v=i+2j

u=2i+j <=> u(2; 1)
v=i+2j <=> v(1; 2)

...

Posté par eva16 eva16

AHHh je suis trop bête alors sa fait 2x2-1x1
4-1=3different de 0
donc c'est une base

Posté par eva16 eva16

Par contre la 2) puis je avoir une piste svp?

Posté par pgeod pgeod

oui. Les vecteurs u et v forment une base du plan vectoriel.

..

Posté par pgeod pgeod


2/

système de 2 équa d'inconnues i et j

u = 2i + j
v = i + 2j

u - 2v = -3j
v - 2u = -3i
.......... à terminer

....

Posté par eva16 eva16

u=-3j+2v
v=-3i+2u

aprés je fais quOI?

Posté par eva16 eva16

ah nan c'est pas comme ca!

Posté par pgeod pgeod


u - 2v = -3j
v - 2u = -3i
.......... à terminer
i = 1/3 (2u - v)
j = 1/3 (-u + 2v)

...

Posté par eva16 eva16

u - 2v = -3j
v - 2u = -3i

u-2v=-3j
v=-3i+2v(u-2v)=-3i

u-2v=-3j
-3i+2vu-4v²=-3i

u-2v=-3j
2vu-4v²

..c'est comme ca?pour l'instant

Posté par pgeod pgeod

regarde mon : posté le 12/05/2008 à 20:33re : Changement de base

...

Posté par eva16 eva16

oui j'ai vu

Posté par eva16 eva16

Je développe est sa fait:i=1/3*2u-1/3v

j=1/3-v+1/3*2u

2/3u-1/3v

-1/3v+2/3v.. c'est bon là?

Posté par pgeod pgeod


i = 2/3 u - 1/3 v
j = -1/3 u + 2/3 v

oui, c'est bon.

...

Posté par eva16 eva16

Mais je suppose que ce n'est pas fini..

Posté par pgeod pgeod


pour la 2/, c'est tout.
Passe à la question 3.

...

Posté par eva16 eva16

ok!!

Posté par eva16 eva16

SAuf que la sa fera u-1v=-3j
v-1u=-3i

Posté par eva16 eva16

J'arrive a la fin a -3/1u+3/1v

-3/1v+3/1u

Posté par eva16 eva16

y'a quelqu'un?.?,????

Posté par watik watik

u=2i+j et v=i+2j
donc
u-2v=-3j donc j=-(1/3)u+(2/3)v
i=v-2j=v+(2/3)u-(4/3)v
=(2/3)u+(-1/3)v
voila

Posté par eva16 eva16

Mais je viens juste de le faire avec pgoed on en est au 3 avec w là!!

Posté par eva16 eva16

si qql1 purrait me le corriger le 3)

Posté par eva16 eva16

???? c'est pour demain s'il vous plait?!!

Posté par pgeod pgeod

i = 2/3 u - 1/3 v
j = 2/3 u - 1/3 v


3)Soit w(1;-3) dans la base(i;j)
a)exprimer w en fonction de i et j

b) en déduire une expression de w en fonction des vecteurs u et v

w = i - 3j

w
= (2/3 u - 1/3 v) - 3(2/3 u - 1/3 v)
= ............. regroupe les u et les v
=.......

...

Posté par eva16 eva16

ALors sa fait:


w = i - 3j
(2/3 u - 1/3 v) - 3(2/3 u - 1/3 v)


-4U/3

Posté par eva16 eva16

-2/3v