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Espace BL²
Posté le 12-05-08 à 11:18
Posté par 
robby3 robby3
Bonjour voici un exercice qui me pose probleme(les 2 dernieres questions)
il me manque la d) et la e)...
pour la d) l'appartenance à
semble ok vu que l'application de prise de spectre est une isométrie continue de ...par contre l'appartenance à 
me semble moins évidente...
pour la e) aucune idée!
Merci d'avance de votre aide!
robby3 robby3Bonjour voici un exercice qui me pose probleme(les 2 dernieres questions)
Citation :
On note=0 p-p sur R-I\})
muni du produit scalaire sur .
a)Montrer que
est non vide.
b)Montrer que est une partie fermé de considéré comme un espace de Hilbert
c)En déduire que est un espace de Hilbert
d)Montrer que)
est inclus dans 
e)Soit
, montrer que 
et 
On note
a)Montrer que
b)Montrer que
c)En déduire que
d)Montrer que
e)Soit
il me manque la d) et la e)...
pour la d) l'appartenance à
pour la e) aucune idée!
Merci d'avance de votre aide!
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 11:25
Posté le 12-05-08 à 11:25Posté par Tigweg Tigweg
Salut robby!
Pourrais-tu préciser tes notations s'il-te-plaît?
Qu'est-ce que F, et que désigne R-I?
Merci!
Tigweg TigwegSalut robby!
Pourrais-tu préciser tes notations s'il-te-plaît?
Qu'est-ce que F, et que désigne R-I?
Merci!
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 11:30
Posté le 12-05-08 à 11:30Posté par robby3 robby3
Salut!
pardon,
F c'est la transformée de Fourier.(je sais pas comment on fait les "beau" F majuscule en latex
)
R bah c'est R,l'ensemble des réels
I un intervalle de R
et donc R-I c'est l'ensemble des réels privé d'un intervalle...
voilà
robby3 robby3Salut!
pardon,
F c'est la transformée de Fourier.(je sais pas comment on fait les "beau" F majuscule en latex
)R bah c'est R,l'ensemble des réels
I un intervalle de R
et donc R-I c'est l'ensemble des réels privé d'un intervalle...
voilà
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 11:58
Posté le 12-05-08 à 11:58Posté par Tigweg Tigweg
Ah, encore une chose!
Quelle est ta définition de la transformée de Fourier? (Ca dépend des auteurs, il y a souvent un exposant qui diffère).
Tigweg TigwegAh, encore une chose!
Quelle est ta définition de la transformée de Fourier? (Ca dépend des auteurs, il y a souvent un exposant qui diffère).
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 12:08
Posté le 12-05-08 à 12:08Posté par robby3 robby3
Merci Skops!
la transformé de fourier de L^2...c'est celle avec les coefficients de fourier
=\frac{1}{(2\pi)^n}\Bigint_{R^n} f(x)exp(-i<x,\omega><img src=)
dx" alt="f_{chapeau}=ck(f)=\frac{1}{(2\pi)^n}\Bigint_{R^n} f(x)exp(-i<x,\omega>dx" class="tex" />...
enfin je crois
robby3 robby3Merci Skops!
la transformé de fourier de L^2...c'est celle avec les coefficients de fourier
dx" class="tex" />...enfin je crois
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 12:14
Posté le 12-05-08 à 12:14Posté par Tigweg Tigweg
Gloups...Petit problème de Latex, et en plus c'est pas classique du tout avec ce coefficient devant!
Peux-tu s'il-te-plaît...recommencer?
Tigweg TigwegGloups...Petit problème de Latex, et en plus c'est pas classique du tout avec ce coefficient devant!
Peux-tu s'il-te-plaît...recommencer?
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 12:15
Posté le 12-05-08 à 12:15Posté par robby3 robby3
oulala j'ai oublier de relire!
en plus c'est archi faux!!
attend je refait Tigweg!
robby3 robby3oulala j'ai oublier de relire!
en plus c'est archi faux!!
attend je refait Tigweg!
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 12:22
Posté le 12-05-08 à 12:22Posté par robby3 robby3
nono mais y'a des 2pi quand c'est la transformée inverse
tout à l'heure j'ai fait un mélande de inversion,pas inversion,erreur latex...bref n'importe quoi
robby3 robby3nono mais y'a des 2pi quand c'est la transformée inverse
tout à l'heure j'ai fait un mélande de inversion,pas inversion,erreur latex...bref n'importe quoi
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 13:04
Posté le 12-05-08 à 13:04Posté par Tigweg Tigweg
Bon déjà pour la d), cela me semble évident si I est un intervalle borné (que sait-on sur I au juste?):
si u est dans BL, alors F(u) est une application pp. nulle en-dehors de l'intervalle I.
De plus F(u) est dans L² ce qui implique notamment que:
(x)|^2dx<+\infty.)
Si I est borné, il suffit de décomposer I en la réunion des intervalles J et K respectivement définis pas:
(x)|<1\}\;et\;J=\{x\in I,\;|F(u)(x)|\ge 1\})
.
Sur J, l'intégrale de|)
est majorée par <+\infty)
.
Sur K, l'intégrale de est majorée par celle de |F(u)|², donc par un nombre fini.
Au final, l'intégrale de sur I est finie, et comme elle est nulle à l'extérieur, on en conclut que \in L^1(\mathbb{R}))
.
Tigweg TigwegBon déjà pour la d), cela me semble évident si I est un intervalle borné (que sait-on sur I au juste?):
si u est dans BL, alors F(u) est une application pp. nulle en-dehors de l'intervalle I.
De plus F(u) est dans L² ce qui implique notamment que:
Si I est borné, il suffit de décomposer I en la réunion des intervalles J et K respectivement définis pas:
Sur J, l'intégrale de
Sur K, l'intégrale de
Au final, l'intégrale de
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 14:27
Posté le 12-05-08 à 14:27Posté par robby3 robby3
Re,
sur I on sait rien de plus...
sinon ok,pour la suite!
pour e) une petite idée?
robby3 robby3Re,
sur I on sait rien de plus...
sinon ok,pour la suite!
pour e) une petite idée?
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 14:59
Posté le 12-05-08 à 14:59Posté par Tigweg Tigweg
Lol, ok! :lolMais je pense que c'est cela, c'est quand même assez classique me semble-t-il, que de considérer des fonctions à support borné dans ce genre de situations!!)
 = {1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\xi)\, e^{i\xi x}\, d\xi)
Pour la e), il suffit d'écrire que, puisque F(u) est dans L², on peut inverser Fourier, et écrire u en fonction de F(u) en n'intégrant que sur I (vu que F(u) meurt partout ailleurs).
On applique ensuite Cauchy-Schwarz et on se retrouve à droite avec un majorant égal à la norme 2 de F(u), qui est égal à la norme 2 de u puisque Fourier est une isométrie de L² sur L².
Enfin, F(u) étant dans L1, Borel-Lebesgue entraîne que u(w) tend vers 0 lorsque |w| tend vers l'infini.
Tigweg TigwegLol, ok! :lol
Mais je pense que c'est cela, c'est quand même assez classique me semble-t-il, que de considérer des fonctions à support borné dans ce genre de situations!!)Pour la e), il suffit d'écrire que, puisque F(u) est dans L², on peut inverser Fourier, et écrire u en fonction de F(u) en n'intégrant que sur I (vu que F(u) meurt partout ailleurs
).On applique ensuite Cauchy-Schwarz et on se retrouve à droite avec un majorant égal à la norme 2 de F(u), qui est égal à la norme 2 de u puisque Fourier est une isométrie de L² sur L².
Enfin, F(u) étant dans L1, Borel-Lebesgue entraîne que u(w) tend vers 0 lorsque |w| tend vers l'infini.
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 15:00
Posté le 12-05-08 à 15:00Posté par Tigweg Tigweg
Oublie aussi la formule que j'ai commencé par écrire, j'ai oublié de l'effacer!
Tigweg TigwegOublie aussi la formule que j'ai commencé par écrire, j'ai oublié de l'effacer!
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 15:06
Posté le 12-05-08 à 15:06Posté par robby3 robby3
> bon,si tu le dis
humm
j'écris))
??
puis>|\le ||F(u)||_2.||e_k||=||F(u)||_2=||u||_2)
c'est ça?
ou
est une base hilbertienne de
robby3 robby3Citation :
c'est quand même assez classique me semble-t-il, que de considérer des fonctions à support borné dans ce genre de situations!
c'est quand même assez classique me semble-t-il, que de considérer des fonctions à support borné dans ce genre de situations!
>
bon,si tu le dishumm
j'écris
puis
c'est ça?
ou
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 15:13
Posté le 12-05-08 à 15:13Posté par Tigweg Tigweg
Euh, non, je n'ai pas parlé de base hilbertienne, pourquoi faire?
En fait, je ne suis plus sûr qu'on ait exactement u=F(F(u)), ce n'est pas plutôt un truc du genre:
=\,\int_{\mathbb R}F(u)(x)\,%20e^{ixw}\,%20dx)
, sauf qu'ici il suffit d'intégrer sur I?
C'est à partir de cela que j'ai appliqué Cauchy-Schwarz, le fait que Fourier est une isométrie de L², puis le théorème de Riemann-Lebesgue (et non de Borel-Lebesgue comme j'avais distraitement écrit!)
Tigweg TigwegEuh, non, je n'ai pas parlé de base hilbertienne, pourquoi faire?
En fait, je ne suis plus sûr qu'on ait exactement u=F(F(u)), ce n'est pas plutôt un truc du genre:
C'est à partir de cela que j'ai appliqué Cauchy-Schwarz, le fait que Fourier est une isométrie de L², puis le théorème de Riemann-Lebesgue (et non de Borel-Lebesgue comme j'avais distraitement écrit!)
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 15:17
Posté le 12-05-08 à 15:17Posté par robby3 robby3
ahh!
tu prend la transformée de fourier inverse et aprés tu fait Cauchy-Schwarz!
dans ce cas ok...
>c'est ça que j'avais pas saisi
Merci Tigweg!
robby3 robby3ahh!
tu prend la transformée de fourier inverse et aprés tu fait Cauchy-Schwarz!
dans ce cas ok...
Citation :
écrire u en fonction de F(u) en n'intégrant que sur I
écrire u en fonction de F(u) en n'intégrant que sur I
>c'est ça que j'avais pas saisi
Merci Tigweg!
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 15:20
Posté le 12-05-08 à 15:20Posté par Tigweg Tigweg
Super, avec plaisir robby!
Dis-moi, elle est juste au moins la formule=\,\int_{\mathbb%20R}F(u)(x)\,%20e^{ixw}\,%20dx)
??
Je n'ai pas oublié un coefficient?
Tigweg TigwegSuper, avec plaisir robby!
Dis-moi, elle est juste au moins la formule
??
Je n'ai pas oublié un coefficient?
re : Espace BL² Posté le 12-05-08 à 15:24
Posté le 12-05-08 à 15:24Posté par Tigweg Tigweg
OK!
Mais bon ça ne change rien ici puisqu'on veut simplement obtenir une majoration, et comme
c'est gagné!
Merci de m'avoir rafraîchi la mémoire en tout cas!
Tigweg TigwegOK!
Mais bon ça ne change rien ici puisqu'on veut simplement obtenir une majoration, et comme
Merci de m'avoir rafraîchi la mémoire en tout cas!
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