Forum : probabilités :
Applications binôme de Newton
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posté le 12/05/2008 à 13:56Applications binôme de Newton
posté par : masterrrBonjour,
J'aurais besoin de votre aide, je n'arrive pas à faire les calculs suivants...
Merci d'avance.
 x^p = \\
\sum_{p=0}^n \(n\\p\) =)
J'aurais besoin de votre aide, je n'arrive pas à faire les calculs suivants...
Merci d'avance.
posté le 12/05/2008 à 14:04re : Applications binôme de Newton
posté par : masterrrEst-ce correct ?
Parce que je ne comprends pas ce que vous m'avez indiqué pour la première somme...
Merci !
posté le 12/05/2008 à 14:04re : Applications binôme de Newton
posté par : gui_touOui c'est correct.
Pour la première somme, ne reconnais-tu pas (1+x)^n ?
Pour la première somme, ne reconnais-tu pas (1+x)^n ?
posté le 12/05/2008 à 14:05re : Applications binôme de Newton
posté par : masterrrJe n'ai rien dit !
Du coup pour la première ça ferait :
 x^p = x^p \times 1^{n-p} = (x+1)^n)
.
Est-ce correct ?
Du coup pour la première ça ferait :
Est-ce correct ?
posté le 12/05/2008 à 14:06re : Applications binôme de Newton
posté par : masterrrMerci pour l'astuce de calcul.
Bonne journée !
Bonne journée !
posté le 12/05/2008 à 14:07re : Applications binôme de Newton
posté par : masterrrUne toute dernière question : mon professeur m'a demandé de démontrer la loi binômiale. Il a parlé d'une récurrence.
Est-ce que vous pourriez m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance !
Est-ce que vous pourriez m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance !
posté le 12/05/2008 à 14:07re : Applications binôme de Newton
posté par : gui_touEuh attention , tu as oublié la somme et les coeffs binomiaux, ^n)
posté le 12/05/2008 à 14:11re : Applications binôme de Newton
posté par : gui_touJe ne connais pas la démonstration de la formule : =\(n\\k\)p^k.(1-p)^{n-k)
(s'il y en a une?!)
Mais je peux t'aider si tu souhaites démontrer que la somme des espérances vaut np
(sinon, Wiki :
)
Mais je peux t'aider si tu souhaites démontrer que la somme des espérances vaut np
(sinon, Wiki :
) posté le 12/05/2008 à 14:15re : Applications binôme de Newton
posté par : masterrr"S'il y en a une" ? Mon professeur nous l'a pourtant demandé 
Je vais aller faire un tour sur Wikipédia.
Merci quand même !
Je vais aller faire un tour sur Wikipédia.
Merci quand même !
posté le 12/05/2008 à 14:16re : Applications binôme de Newton
posté par : gui_touUne idée de démo ici : 
posté le 12/05/2008 à 14:19re : Applications binôme de Newton
posté par : masterrrOui merci j'étais tombé dessus également.
Par contre je ne comprends pas pourquoi mon professeur nous a parlé d'utiliser un raisonnement par récurrence...
Par contre je ne comprends pas pourquoi mon professeur nous a parlé d'utiliser un raisonnement par récurrence...
posté le 12/05/2008 à 14:25re : Applications binôme de Newton
posté par : 
Coll (Modérateur)Bonjour à tous les deux,
n tirages à deux issues possibles, chacun ayant la probabilité p de conduire à un certain événement. On appelle X la variable aléatoire, nombre de réalisations de l'événement qui nous intéresse.
Quelle est la probabilité pour que X = k
k tirages doivent conduire à l'événement : probabilité pk
les autres (n - k) ne doivent pas conduire à l'événement : probabilité (1-p)n-k
De combien de manières peut-on choisir parmi n les k qui conduisent à l'événement :
Conclusion : P(X = k) =^{n-k})
n tirages à deux issues possibles, chacun ayant la probabilité p de conduire à un certain événement. On appelle X la variable aléatoire, nombre de réalisations de l'événement qui nous intéresse.
Quelle est la probabilité pour que X = k
k tirages doivent conduire à l'événement : probabilité pk
les autres (n - k) ne doivent pas conduire à l'événement : probabilité (1-p)n-k
De combien de manières peut-on choisir parmi n les k qui conduisent à l'événement :
Conclusion : P(X = k) =
posté le 12/05/2008 à 14:28re : Applications binôme de Newton
posté par : masterrrMerci pour votre réponse, c'est globalement ce que j'avais trouvé dans mon livre.
Ce qui m'embête c'est que mon professeur nous a parlé de récurrence, mais bon...
Bonne journée !
Ce qui m'embête c'est que mon professeur nous a parlé de récurrence, mais bon...
Bonne journée !
posté le 12/05/2008 à 14:29re : Applications binôme de Newton
posté par : gui_touBonjour et Coll, et merci pour la démo
posté le 14/05/2008 à 20:06re : Applications binôme de Newton
posté par : masterrrÀ titre culturel, la loi binômiale B(n;p) peut être démontrée par récurrence.
Utilisons un raisonnement par récurrence sur n.
1. Initialisation : pour n=1
=1-p \\
\(1\\0\) \times p^0 \times (1-p) = 1-p)
=p \\
\(1\\1\) \times p^1 \times (1-p)^0 = p)
La propriété est vraie au rang n=1.
2. Hypothèse de récurrence : on suppose que pour un certain rang n = \(n\\k\) \times p^k \times (1-p)^{n-k}})
pour 
.
3. Hérédité : on prouve que \times p^k \times (1-p)^{n+1-k} \forall k \in [|0;n+1|])
.
 = P_n(X=k) \times P_1(X=0) + P_n(X=k-1) \times P_1(X=1))
(il y a k succès plus un échec ou bien un succès)
 = \(n\\k\) \times p^k \times (1-p)^{n+1-k} + \(n\\k-1\) \times p^k \times (1-p)^{n+1-k})
 = \(n+1\\k\) \times p^k \times (1-p)^{n+1-k}})
La propriété est récurrente donc vraie
.
Utilisons un raisonnement par récurrence sur n.
1. Initialisation : pour n=1
La propriété est vraie au rang n=1.
2. Hypothèse de récurrence : on suppose que pour un certain rang n
3. Hérédité : on prouve que
La propriété est récurrente donc vraie
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