Forum : probabilités :
Exercice avec loi de proba.

Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2, indiscernables au
toucher.
On tire une boule du sac, on note son numéro x et on la remet dans le sac, puis on
tire une seconde boule, on note son numéro y et on la remet dans le sac.

Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.

À chaque tirage de deux boules, on associe dans le plan, muni d'un repère orthonormal (O;i;j) le point M de coordonnées (x ; y).

On désigne par D le disque de centre O et de rayon 1,7.

Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.

1. Placer dans le plan muni du repère (O;i;j) les points correspondant aux
différents résultats possibles.

2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A « Le point M est sur l'axe des abscisses » ;
B « Le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 ».

3. a. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, associe la
somme x² + y². Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
X. Calculer son espérance mathématique E(X).

b. Montrer que la probabilité de l'évènement « le point M appartient au
disque D » est égale à
4/9

4. On tire 5 fois de suite, de façon indépendante, deux boules successivement et
avec remise. On obtient ainsi 5 points du plan.
Quelle est la probabilité de l'évènement suivant :
C : « Au moins un de ces points appartient au disque D » ?

5. On renouvelle n fois de suite, de façon indépendante, le tirage de deux boules
successivement et avec remise. On obtient ainsi n points du plan.
Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de
l'évènement « au moins un de ces points appartient à D » soit supérieure ou
égale à 0,999 9.

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Alors quelques problèmes pour cet exercice:

1. Aucun souci

2. P(A)=1/3

P(B)=2/9

Je ne trouve pas par contre la loi de pronanilité de la variable aléatoire ...

Merci à tous pour l'aide...

Clément_21

Bonjour Clément !

La variable aléatoire X te donne le carré de la distance du point M à l'origine; avec le dessin sous les yeux, c'est facile de trouver les valeurs possibles et les probabilités correspondantes ...

Merci
Mais justement j'ai fait le dessin & je ne comprend pas comment il faut procéder pour déterminer les valeurs de x

Merci de m'expliquer...

Clément_21

Je viens de comprendre

Merci d'avance quand même

x = 0 1 2 4 5 8

et

P(0)=1/9

P(1)=2/9

P(2)=1/9

P(4)=2/9

P(5)=2/9

P(8)=1/9

???

Je trouve ensuite E(X)=10/3

Mais je ne vois pas comment procéder pr la question suivante...

Pour la loi de X et la valeur de E(X), c'est tout bon !
Pour la question b), dire que " M appartient au disque D " revient à dire " la distance de O à M est plus petite ou égale à 1.7 ", ou encore " X (1.7)²". Tu connais la loi de X, tu peux calculer cette probabilité.
Pour le 4), pense à l'événement contraire ...