Forum : droites et plans :
équation d'un plan dans l'espace

bonjours à tous

voilà un problème bien difficile où les inconnues ne manquent pas :

1. on considère l'équation (E): 6x+7y=57 où x et y sont des entiers relatifs.
a) determiner un couple d'entier relatifs (u,v) tel que 6u+7v=1 , en déduire une solution particuliere (x0;y0) de l'équation (E)

b) determiner les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E)

2. soit (O;;;) un repère orthonormal de l'espace
On considère le plan P d'équation : 6x+7y+8z=57
On considère les points du plan P qui appartient aussi au plan (O;;).montrer qu'un seul de ces points a pour coordonnées des entiers naturels ; déterminer les coordonnées de ce point

3. On considère un point M du plan P dont les coordonnées x y et z sont des entiers naturels
a) Montrer que l'entier y est impair

b) On pose y=2p+1 où p est un entier naturel
   Montrer que le reste dans la division euclidienne de p+z par 3 est égale à 1

c) On pose p+z=3q+1 où q est un entier naturel
   Montrer que les entiers naturels x p et q vérifient la relation : x+p+4q=7
   En déduire que q prend les valeurs 0 ou 1

d) En déduire les coordonnées de tous les points de P donc les coordonnées sont des entiers naturels




voilà pour l'énoncé et voici ce que j'ai fais :

1. a)  (u,v) : (-1,1)  donc (x0;y0) : (-57,57)

pour la question 2. je pense que le point a pour coordonnées ( -57,57,0) mais je ne sais pas comment le montrer

3. a) y est impair car 6 et 8 sont pair et 57 est impair donc 7y est impair donc y est impair

pour la 3.c) il est facile de vérifier la relation mais je ne sais pas comment montrer le reste 1 de la division euclidienne

et voilà c'est tout ce que j'ai réussi à faire
merci de votre aide pour les questions où je bloque

Bonjour,

2)Non, car -57 n'est pas un entier naturel.

Qu'as-tu trouvé pour la question 1b)?

C'est de cela qu'il faut se servir!

je n'est pas trouvé la 1b) je ne sais pas si il faut tester différente valeurs ou s'il ya une méthode de résolution d'équation ?

sinn il y a (0,7,1)

(1,5,2)

(2,3,3) (6,3,0)

Oui, il y a une méthode générale:

Si(x0,y0) est une solution particulière, alors pour toute solution (x,y) on a

6x0+7y0=57

6x+7y=57.

On soustrait, d'où 6(x-x0)==7(y0-y).

6 et 7 étant premiers entre eux, on en déduit que 7|x-x0 et que 6|y0-y.

Donc il existe k et m entiers relatifs tels que:

x=x0+7k et y=y0+6m .

En remplaçant dans l'équation initiale et en réutilisant le fait que 6x0+7y0=57, on obtient la condition nécessaire et suffisante m=-k pour que (x,y)=(x0+7k ; y0+6m ) soit solution de l'équation.

Ici, il s'agit donc de {(-57+7k;57-6k) , k entier relatif}.



Pour la 3b), mets en facteur le plus de 3 possibles dans l'expression 3x+7p+4z=25.

Il va rester p+z=1+3u, u entier, donc le reste vaudra 1.

dans la 3 b) je dois obtenir : 3(x+2p+z-8) +p+z=1 ?

Exactement.

Sinon,tu as compris pour 1b?

j'ai bien compris que 7/x-x0 donc x=x0+7k , pareil avec 6
quand tu remplace dans l'équation initiale ça donne :
6(x0+7k) + 7(y0+6m) = 57 ?

et esnuite je ne comprend pas

citation :
Ici, il s'agit donc de {(-57+7k;57-6k) , k entier relatif}.

d'accord j'ai compris en fais tout les couples s'écrivent ( -57 +7k , 57+6m ) avec k et m des entiers relatifs et là je ne comprend pas pourquoi m = -k      ^^

Quand tu obtiens 6(x0+7k) + 7(y0+6m) = 57 , tu développes, puis tu utilises que 6x0+7y0=57, il reste 42(k+m)=0 d'où k=-m.

ok d'accord j'ai compris , merci beaucoup pour tes explications c'est beaucoup plus clair maintenant

Avec plaisir.

pour la 2. je vois pourquoi on a besoin de la 1)b) :

-57 + 7k > 0   et 57-6k > 0 donc k=9 et seulement 9

soit le couple ( 6,3,0)

Oui c'est juste, et tu t'es bien servi de la  forme GENERALE des solutions obtenue en 1b) non?!

oui oui :

citation :
{(-57+7k;57-6k) , k entier relatif}.

Voilà.

je t'embete encore une dernière fois :
pour la 3d) je trouve les couples :
(7-p , 2p+1, 1-p) q=0 et p entier relatif
(3-p , 2p+1, 4-p) q=1 et p entier relatif

mais p 1 donc les couples :

(7,1,1)  (6,3,0)  (3,1,4)  (2,3,3)

Non c'est faux, tu oublies qu'on veut des entiers naturels, donc positifs ou nuls!

Sers-toi de x+p+4q=7 puis rappelle-toi que q vaut 0 ou 1.

Si q=0 cherche toutes les possibilités pour x et p, donc pour x et y=2p+1.

Le  z correspondant s'obtient grâce à p+z=3q+1.


Idem pour q=1.


Enfin vérifie que les solutions trouvées satisfont bien l'équation du plan.

Sauf erreur de ma part, j'obtiens exactement 6 solutions (2 lorsque q=0, 4 lorsque q=1).

Posts croisés.

Tes triplets sont tous justes, mais il t'en manque deux.

je ne vois pas du tout où trouver les deux manquantes ^^

Essaie voir q=1 et x=1, que vaut p?

Puis q=1 et x=0.

q = 0 ou 1
donc 2 possibilitées
p = 0 ou 1
donc 2^2 possibilitées = 4 possibilitées
6 solutions ? ^^

j'essaie ..

D'où tires-tu que p=0 ou 1?

citation :
7-p , 2p+1, 1-p)

or

citation :
dont les coordonnées sont des entiers naturels

donc 1-p 0
p1
donc p = 0 ou 1

Oui mais tu t'auto-cites, alors que ton résultat était faux...

Pardon, en fait c'est peut-être juste, mais seulement si q=0.

Si q=1, on a 4-p comme 3è coordonnée, d'où p est inférieur ou égal à 4.

comment ça ?
q = 0 ou 1 ça c'est sur et x+4q+

dsl j'ai buggé sur le dernier post

1 ere coordonnées : p inferieur ou egale à 3 soit p = 0 ,1 ,2,3

D'accord, en effet.

D'où 4 solutions si q=1.

tu avais raison il y a deux coordonnées de plus :

donc 6 au total

Oui, alors tu les as tes solutions manquantes?

(1 5 2)
(0 7 1)

Yes!! Félicitations, il est terminé ton DM!

merci beaucoup tigweg pour tout l'exercice
passe une bonne soirée

à bientot

Bonne soirée à toi, et je t'en prie!