Forum : équations différentielles :
équations diff

Bonsoir,


Je bloque totalement sur mon exo :


Dans un secteur d'une région donnée un predateur empêche la croissance  en tuant une certaine quantité de rongueur.On note u(t) le nombre de rongeurs vivants au temps t( exprimé en années) dans cette région, et on admet que a fonction u, ainsi définit sur [0,+[ satisfait aux conditions (E2) : u'=u/4-u²/12 et u(0)=1.


a) On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t)>0. sUR [0,,+[  la fonction h définie par h=1/u.
Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2)si, et seulement si la fonction h satisfait aux conditions : (E3): h'=-1/4h+1/12 et h(0)=1.

b) Donner les solutions de l'équation différencielle y'=-1/4y+1/12 et en déduire l'expression de la fonction h, puis celle de la fonction u.

c) Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers +



Merci de m'aider car je suis dans le flou total

svp aidez moi

bonsoir

h = 1/u

u = 1/h

u' = -h'/h²

l'equadif devient :

-h'/h² = 1/4h - 1/12h²

h' = -h/4 + 1/12
comme h = 1/u, h(0) = 1/u(0) = 1/1 => h(0) = 1

tu continues ?

si tu appelles h = y, il te faut résoudre y' = -y/4 + 1/12

une solution particulière est y = 1/3

la solution générale de y' = -y/4 est y = Cexp(-x/4)

et donc y =  Cexp(-x/4) + 1/3

comme y(0)=1 on peut déterminer C :

Cexp(-0/4) + 1/3 = 1 => C + 1/3 = 1 => C = 2/3

y = ( 1 + 2exp(-x/4) )/3

comme u = 1/h = 1/y

u(t) = 3/( 1 + 2exp(-t/4) )

si t->+oo, u(t) -> 3

A vérifier