Forum : algèbre :
matrice définie semi-positive
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posté le 12/05/2008 à 20:22matrice définie semi-positive
posté par : romuBonsoir,
pourquoi si on a une matrice)
vérifiant 
pour tout 
, 
est diagonalisable?
Merci pour vos réponses.
pourquoi si on a une matrice
Merci pour vos réponses.
posté le 12/05/2008 à 20:24matrice définie semi-positive
posté par : 
raymond (Correcteur)Bonsoir.
M étant symétrique réelle elle est forcément diagonalisable.
La positivité signifie que ses valeurs propres sont > 0.
M étant symétrique réelle elle est forcément diagonalisable.
La positivité signifie que ses valeurs propres sont > 0.
posté le 12/05/2008 à 20:39matrice définie semi-positive
posté par : raymond (Correcteur)Si la symétrie n'est pas dans les hypothèses, prenons :
Alors, tX.A.X = x² + xy + y² : positif sur R
Mais A n'est pas diagonalisable.
Alors, tX.A.X = x² + xy + y² : positif sur R
Mais A n'est pas diagonalisable.
posté le 12/05/2008 à 21:46re : matrice définie semi-positive
posté par : romuBonsoir Raymond et merci pour cette réponse rapide,
mais je n'arrive pas à voir pourquoi une matrice symétrique réelle est diagonalisable.
mais je n'arrive pas à voir pourquoi une matrice symétrique réelle est diagonalisable.
posté le 12/05/2008 à 21:50re : matrice définie semi-positive
posté par : 
Nightmare (Modérateur)Salut romu
Considère la forme quadratique q associée à notre matrice M symétrique réelle.
qu est continue sur la sphère unité de Rn compacte donc atteint sa borne supérieure en un vecteur x.
Montrer que cette borne supérieure est une valeur propre de M.
On applique le même raisonnement à l'orthogonal de x stable par M etc... On obtient une base de vecteurs propres.
M est donc diagonalisable.
Considère la forme quadratique q associée à notre matrice M symétrique réelle.
qu est continue sur la sphère unité de Rn compacte donc atteint sa borne supérieure en un vecteur x.
Montrer que cette borne supérieure est une valeur propre de M.
On applique le même raisonnement à l'orthogonal de x stable par M etc... On obtient une base de vecteurs propres.
M est donc diagonalisable.
posté le 12/05/2008 à 21:58re : matrice définie semi-positive
posté par : romumerci Jord, je vais suivre ton canevas.
posté le 23/05/2008 à 13:43re : matrice définie semi-positive
posté par : romuJe reprends cet exo, je ne vois pas comment montrer que cette borne supérieure est une valeur propre. 
posté le 23/05/2008 à 14:57re : matrice définie semi-positive
posté par : romuJe récapitule:
On note_{1\leq i \leq m})
la base canonique de 
.
Soit\in \mathcal{M}_m(\mathbb{R}))
symétrique (ie 
pour tous 
).
La forme bilinéaire symétrique associée est celle caractérisée par les relations:
=a_{ij}\ ,\qquad \forall i,j)
.
On note
la forme quadratique associée à 
( )
).
Soit
. On a =q(\Bigsum_{i=1}^m x_i e_i)=\Bigsum_{i,j=1}^m x_i x_j a_{ij})
.
est continue sur car bilinéaire (définie sur un espace de dimension finie), donc est aussi continue.
Sur la sphère unité compacte, atteint donc sa borne sup en un point 
.
Là il faut donc que je montre qu'il existe
tel que x)
.
J'avais pensé à
mais je ne vois pas comment montrer cette égalité.
On note
Soit
La forme bilinéaire symétrique associée est celle caractérisée par les relations:
On note
Soit
Sur la sphère unité compacte,
Là il faut donc que je montre qu'il existe
J'avais pensé à
posté le 23/05/2008 à 15:12re : matrice définie semi-positive
posté par : jeansebBonjour romu
Dans mon souvenir, il y a deux démonstrations:
- la démo paresseuse consiste à démontrer le théorème sur C à partir des matrices hermitiennes. L'intérêt est que C etant clos, l'endomorphisme a forcément une valeur propre. Le reste n'est pas très compliqué me semble-t-il. Ensuite, les matrices symétriques réelles en sont des cas particuliers.
- la démo directe, qui est beaucoup plus trappue. Elle se fait me semble-t-il par récurrence, en prouvant que toute matrice symétrique réelle a au moins une valeur propre réelle.
Je ne sais pas si ça t'avance beaucoup...
Dans mon souvenir, il y a deux démonstrations:
- la démo paresseuse consiste à démontrer le théorème sur C à partir des matrices hermitiennes. L'intérêt est que C etant clos, l'endomorphisme a forcément une valeur propre. Le reste n'est pas très compliqué me semble-t-il. Ensuite, les matrices symétriques réelles en sont des cas particuliers.
- la démo directe, qui est beaucoup plus trappue. Elle se fait me semble-t-il par récurrence, en prouvant que toute matrice symétrique réelle a au moins une valeur propre réelle.
Je ne sais pas si ça t'avance beaucoup...
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