Forum : probabilités :
lancers pile/face

bonsoir, pouvez vous m'aider svp pour cet exercice :

soit p E ]0;1[, une personne effectue une suite de lancers d'une pièce avec proba p d'obtenir pile et q d'obtenir face.
elle gagne si le nombre de pile est égal au nombre de face plus 2. elle perd si le nombre de face est égal au nombre de pile plus 2
1. soit n un entier naturel non nul, calculer la probabilité de l'événement On : "en 2n coups, la personne n'a ni gagné, ni perdu, et à l'issue du (2n)ième lancer, elle a obtenu autant de pile que de face"
2.en déduire la proba que la partie dure plus (strictement) de 2coups
3. calculer la probabilité que la personne gagne après 2n lancers
4. calculer la probabilité que la personne gagne


merci beaucoup et bonne soiréééée !

de 0 on peut aller soit vers 1 soit vers -1  et apres obligatoirement dans l'autre sens, c'est à dire au bout de 2 coups on doit arriver en 0 etc. chaque fois il y a deux chemin possible, ètan donné, que chaque chemin est equiprobable et en tout il y a 4 chemin differents (011, 01-1, 0-11, 0-1-01) on a donc rester dans le jeux avec la proba 1/2 après tous les deux coup, la variable (de deux coups) suit donc la lois de binome, d'où on aura les rèponces aux toutes les questions.

bonjour,
soit N le nombre de coups de la partie,quand la

partie se termine il y a deux piles de plus que de faces ou deux faces de moins que de piles
si x est le nombre de piles obtenues  au cours de la partie et y le nombre de faces on a donc x=y+2 et c'est gagné ou y=x+2 et c'est perdu
on a donc x+y=N (1) et x-y+2 (2)  ou y-x=2 (2)'
(1) et (2)=>2x=N+2 donc N est pair
(1) et (2)'=>2y=N+2 donc N est pair
la partie ne peut se terminer qu'au bout d'un nombre pair de coups

soit A_n l'évenement la partie n'est pas terminée au bout de 2n coups (je n'arrive pas à déchiffrer ta notation  O_n ?)et a_n=P(A_n)

pour n=1:la partie n'est pas terminée en deux coups A₁=(P,F)ou(F,P) a₁=pq+qp=2pq
pour n=2:la partie n'est pas terminée en 4 coups A₄=(A₂(PF))(A₂(FP))

a₄=a₂(pq)+a₂pq=(2pq)²

de la

Bonjour veleda peux-tu jeter un coup d'oeil à moi je ne m'y connais pas assez...

même façon
attention je prends comme notation A_2n
la partie n'est pas terminée au bout de 2n coups
donc au début c'est A₂ au lieu de A₁ et a₂=P(A₂)=2pq au lieu de a₁

A_2n=(A_2(n-1)(PF))(A_n-1)(FP))
on en déduit
a_2n=a_2(n-1)(pq+qp)=2pqa_2(n-1)
la suite (u_n)= (a_2n)=(P(A_2n) pour n entier naturel non nul  est donc une suite géométrique de premier terme u₁= a₂=2pq et de raison 2pq
on en déduit
u_n=P(A_2n)=(2pq)ⁿ

bonjour Camélia
d'accord je vais voir

dans ce que j'ai ecrit on remarquera seulement que les chemins ne sont pas equiprobable, proba de bonne chemin est 2*p*(p-1) et des mouvais est
p^2 + (p-1)^2, qui fait donc que le proba de rester dans le jeux est
t = 2*p*(1-p), d'où
1 .
soit n un entier naturel non nul, calculer la probabilité de l'événement On : "en 2n coups, la personne n'a ni gagné, ni perdu, et à l'issue du (2n)ième lancer, elle a obtenu autant de pile que de face"


proba = t^n, soit (2*p*(1-p))^n

2 .
c'est la proba qu'elle n'est pas finis, cad
p^2 + (p-1)^2

3.
c'est la proba de rester dans le jeu 2-(n-1) coups et apres obtenir deux piles cad
Proba  = t^(n-1)*p^2
4.
clairement c'est 1/(1-t)*p^2, c'est à dire de gagner apres 2 coup uo 4 coups ou .. ou 2*n coups .. etc. ... la somme geometrique