de 0 on peut aller soit vers 1 soit vers -1  et apres obligatoirement dans l'autre sens, c'est à dire au bout de 2 coups on doit arriver en 0 etc. chaque fois il y a deux chemin possible, ètan donné, que chaque chemin est equiprobable et en tout il y a 4 chemin differents (011, 01-1, 0-11, 0-1-01) on a donc rester dans le jeux avec la proba 1/2 après tous les deux coup, la variable (de deux coups) suit donc la lois de binome, d'où on aura les rèponces aux toutes les questions.

bonjour,
soit N le nombre de coups de la partie,quand la

partie se termine il y a deux piles de plus que de faces ou deux faces de moins que de piles
si x est le nombre de piles obtenues  au cours de la partie et y le nombre de faces on a donc x=y+2 et c'est gagné ou y=x+2 et c'est perdu
on a donc x+y=N (1) et x-y+2 (2)  ou y-x=2 (2)'
(1) et (2)=>2x=N+2 donc N est pair
(1) et (2)'=>2y=N+2 donc N est pair
la partie ne peut se terminer qu'au bout d'un nombre pair de coups

soit A_n l'évenement la partie n'est pas terminée au bout de 2n coups (je n'arrive pas à déchiffrer ta notation  O_n ?)et a_n=P(A_n)

pour n=1:la partie n'est pas terminée en deux coups A₁=(P,F)ou(F,P) a₁=pq+qp=2pq
pour n=2:la partie n'est pas terminée en 4 coups A₄=(A₂(PF))(A₂(FP))

a₄=a₂(pq)+a₂pq=(2pq)²

de la

Bonjour veleda peux-tu jeter un coup d'oeil à Suite moi je ne m'y connais pas assez...

même façon
attention je prends comme notation A_2n
la partie n'est pas terminée au bout de 2n coups
donc au début c'est A₂ au lieu de A₁ et a₂=P(A₂)=2pq au lieu de a₁

A_2n=(A_2(n-1)(PF))(A_n-1)(FP))
on en déduit
a_2n=a_2(n-1)(pq+qp)=2pqa_2(n-1)
la suite (u_n)= (a_2n)=(P(A_2n) pour n entier naturel non nul  est donc une suite géométrique de premier terme u₁= a₂=2pq et de raison 2pq
on en déduit
u_n=P(A_2n)=(2pq)ⁿ

bonjour Camélia
d'accord je vais voir

dans ce que j'ai ecrit on remarquera seulement que les chemins ne sont pas equiprobable, proba de bonne chemin est 2*p*(p-1) et des mouvais est
p^2 + (p-1)^2, qui fait donc que le proba de rester dans le jeux est
t = 2*p*(1-p), d'où
1 .
soit n un entier naturel non nul, calculer la probabilité de l'événement On : "en 2n coups, la personne n'a ni gagné, ni perdu, et à l'issue du (2n)ième lancer, elle a obtenu autant de pile que de face"


proba = t^n, soit (2*p*(1-p))^n

2 .
c'est la proba qu'elle n'est pas finis, cad
p^2 + (p-1)^2

3.
c'est la proba de rester dans le jeu 2-(n-1) coups et apres obtenir deux piles cad
Proba  = t^(n-1)*p^2
4.
clairement c'est 1/(1-t)*p^2, c'est à dire de gagner apres 2 coup uo 4 coups ou .. ou 2*n coups .. etc. ... la somme geometrique