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fonction meusurable ...

Posté par
flicflac
12-05-08 à 22:45

Bonsoir à tous,
je dois donner un exemple qui montre que la mesurabilité de |f| n'entraine pas forcement que f est mesurable ...
Si quelqu'un pourrait m'en donner un s'il vous plait ... je dois rendre cet exercice demain et je n'arrive pas à en trouver un ...

Merci d'avance

Flow

Posté par
romu
re : fonction meusurable ... 13-05-08 à 00:27

Salut,

en notant \mathcal{A}=\{\emptyset,\mathbb{R}\} la tribu grossière sur \mathbb{R}, on peut prendre l'application f : (\mathbb{R},\mathcal{A})\rightarrow (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) définie par f=-\mathbb{1}_{[0,1]}+\mathbb{1}_{[0,1]^c}.

On a \{-1\}\in \mathcal{B}(\mathbb{R}) et f^{-1}(\{-1\})=[0,1]\not \in \mathcal{A}, donc f n'est pas mesurable,

tandis que |f|=\mathbb{1}_{\mathbb{R}} est \mathcal{A}-\mathcal{B}(\mathbb{R}) mesurable.

Posté par
otto
re : fonction meusurable ... 13-05-08 à 00:53

Bonjour,
un autre exemple avec les boréliens:

on sait qu'il existe un ensemble non mesurable, disons X, on prend f définie par

f(x)=2k(x)-1

où k est la fonction caractéristique de X.

|f(x)|=1 pour tout x mais f n'est pas mesurable sinon k le serait et donc X le serait.

Sauf erreur.

Posté par
romu
re : fonction meusurable ... 13-05-08 à 00:59

salut otto,

bien vu pour la fonction f

Posté par
otto
re : fonction meusurable ... 13-05-08 à 01:04

Salut romu,
merci

Posté par
Tigweg Correcteur
re : fonction meusurable ... 13-05-08 à 16:15

Bonjour,

jolis vos exemples, bien que celui d'otto utilise l'axiome du choix me semble-t-il!
(Mais bon, il paraît tellement "évident" cet axiome qu'il ne faut même pas prendre ma remarque pour une réserve!)



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