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Officiel de la Taupe 159a

Bonjour.

Pour ce soir, de l'algèbre linéaire, proposée à TPE (option MP)

citation :
La loi définie sur   par     est-elle associative? Commutative? Possède-t-elle un élément neutre ? Quels sont les éléments inversibles ? Si   A+B=AB  , A et B commutent-elles ?

Bonsoir perroquet


Merci encore pour ces exos sympas

guitou >

bonjour,

bonjour!

rebonsoir,

bonjour

Bonjour.

Dans le post de gui-tou, on trouve la réponse aux questions suivantes:
la loi est-elle associative? commutative ?

jolene (post du 14 mai, 19h14) nous donne l'élément neutre de la loi.

veleda (post du 16 mai, 6h54) caractérise les éléments inversibles pour la loi, et répond à la dernière question.

Ce qui fait que je n'ai pas de solution à écrire

bonjour perroquet
pour la dernière question il me semble qu'il n'est pas nécessaire d'avoir caractérisé les éléments inversibles
A est inversible et B est son inverse (à droite et à gauche)=>A*B=0=B*A soit A+B+A.B=B+A+B.A=>A.B=B.A

Bonjour, veleda

L'égalité   A+B=AB  entraîne que  A*B = 0  donc que A admet B pour inverse à droite pour la loi *.
A priori, cela n'entraîne pas obligatoirement que  A admet B pour inverse à gauche pour la loi *.
Donc, pour pouvoir affirmer que A admet B pour inverse à gauche pour la loi *, je pense qu'il faut utiliser le raisonnement suivant (utilisant la caractérisation des éléments inversibles à droite ou à gauche pour *):

Si A est inversible à droite pour *, alors, A-I est inversible pour la multiplication matricielle. De plus, B-I est l'inverse de A-I pour la multiplication matricielle. Mais ceci signifie alors que A admet pour inverse à gauche B.

qu'est ce que le texte  veut dire par élément inversible?si cela veut dire qu'il a un inverse à droite et un à gauche comme la loi est associative c'est le même
j'ai donné dans mon post du 16 mai la démonstration que tu redonnes mais aprés coup je me suis dit qu'inversible sans autre précision voulait  sans doute dire à droite et à gauche

ce que l'on a montré dans l'avant dernière question c'est que si A a un inverse à   droite alors A est inversible

Pour moi (et sans doute pour le texte), "x élément inversible" signifie : "il existe y tel que  x * y =y*x = e".
Il est exact que si la loi est associative  et si x admet un inverse à droite et un inverse à gauche, alors l'inverse à gauche de x et l'inverse à droite de x sont égaux, et x est inversible.
Cependant, il existe des cas où la loi est associative et où un élément est inversible à gauche sans être inversible à droite.

Il y a donc effectivement un petit piège dans la question posée: on ne peut pas se contenter d'affirmer que A est inversible à droite pour en déduire que A est inversible. Il fallait reprendre soigneusement la démonstration de la recherche des éléments inversibles pour pouvoir affirmer que l'existence d'un inverse à droite entraîne l'existence d'un inverse.

La démonstration que tu avais faite le 16 mai ne tombait dans le piège que j'ai évoqué ci-dessus. Je l'ai même donnée comme la solution de référence.

on est bien d'accord,je voulais dire que dans le cas de l'exercice si A est inversible  d'inverse B A*B=0=>B*A=0 donc A.B=B.A on peut donc en déduire que A et B commutent pour l'habituelle multiplication des matrices sans avoir caractérisé les éléments inversibles