transformée de laplace d'une valeur absolue

Posté par athesa athesa

bonsoir,

dans mon dm je dois trouver la transformée de laplace de |sin t|

j'ai voulu pour voir sur maple le résultat mais il ne me donne rien pourtant j'ai les bons paramètres.

du coup je commence à me poser des questions sur la résolution. mon prof classe ca dans les exos difficiles, j'ai du mal à commencer quelqu'un peut m'aider?

Posté par Ksilver Ksilver

Salut !


Maple gère très mal les valeur absolue, c'est pour ça qu'il y arrive pas.

je te conseillerai de découper l'intégral en Ik= intégral de kPi a (k+1)Pi de |sin(t)|.exp(-t)

de calculer Ik, puis de sommer les Ik (qui vont etre une série géométrique...)

Posté par perroquet perroquet

Bonjour, athesa

Pour obtenir le résultat sur maple:

> with(inttrans):
> laplace(abs(sin(t)),t,x);


Pour faire le calcul toi-même:

1) Calculer d'abord  
2) Pour calculer   , poser le changement de variable

Posté par perroquet perroquet

Grillé  
Bonjour, Ksilver

Posté par athesa athesa

mais il ne faut pas séparer les cas de valeur absolue?
je veux dire quand sin t > 0 et sint t <0
?

Posté par perroquet perroquet

La fonction qui à t associe |sint(t)| est pi-périodique.
Donc, lorsque t est dans l'intervalle [k pi, (k+1)pi], si on fait le changement de variable  t=u+ k pi, on a:
|sin(t)|=|sin(u)|=sin(u)

Posté par Ksilver Ksilver

mais il ne faut pas séparer les cas de valeur absolue? >>> c'est pour ca qu'on découpe en intervalles kPi, (k+1)Pi : sur chaque intervalle sin est de signe constant.

Posté par Bulzur Bulzur

Bonjour,

Il se trouve que j'ai aussi eu cet exercice à faire, mais il paraît plus faisable à l'aide des signaux.
Il suffit alors de poser f(t) = |sin(t)|.
On peut aisément tracer la courbe correspondante, qui est une suite d'arches de sinusoïde de hauteur 1, tous les "pi", à partir de 0.

On étudie ensuite une partie de la courbe, on fait sa transformée de Laplace, et comme la fonction est pi-périodique, la somme découle naturellement. Et comme la TL est linéaire, la somme nous parvient directement.

Posté par athesa athesa

je me remet à mon dm après une première série de partiels.
je me trouve un peu nulle car en voulant calculer sin (t) dt de 0 à pi je ne trouve qu'avec la méthode des complexes (formules d'euler) et ca fait très moche. y'a une autre méthode?

et une fois qu'on a calculé |sin (t)| dt de kpi à (k+1)pi avec le changement de variable je fais la limite quand k tend vers ?

j'aime vraiment pas l'analyse cette année...

Posté par athesa athesa

non je ne sais plus lire. je vois qu'il faut sommer. donc ca nous fera, si I c'est  sin (t) dt de 0 à pi :

I de 0 à et ca c'est la transformée de laplace?

Posté par perroquet perroquet

1) As-tu trouvé ce résultat?



2) Quelle relation obtiens-tu entre       et       après avoir posé le changement de variable     ?

Posté par athesa athesa

1) ben en fait j'ai voulu calculer en utilisant sin (t)= 1/2i (exp(it)-exp(-it)) et j'obtiens un resultat comme
1/2i (exp(i-x)/(i-x) + exp(-(i+x)/(i+x) - 2)

autant dire qu'il est trop long avec trop de i

2)ben avec le changement de variable j'obtiens une égalité entre les deux mais avec des variables différentes

Posté par perroquet perroquet

Pour la première question, tu peux simplifier ton résultat en remarquant que




Pour la deuxième question, tu as fait une faute dans ton changement de variable.
Je détaille dans un prochain post

Posté par perroquet perroquet



Donc, si         alors        

Posté par athesa athesa

j'ai complètement oublié de changer la variable de l'exponentielle...

dans le calcul de la première intégrale j'arrive toujours pas à me débarasser des i.
faut que je le refasse j'ai du avoir un bug quelque part.

Posté par perroquet perroquet



Avec ta méthode de calcul, le résultat est en fait:

Posté par athesa athesa

ben j'ai finalement recommencé j'ai trouvé mon erreur
et j'obtiens
1/(p²+1)+1/(2i*(p²+1))* [(i+x)exp(-x)+(i-x)exp(x)]

je suis vraiment un boulet aujourd'hui...

Posté par perroquet perroquet



Il y a encore des erreurs; ce n'est ni exp(x), ni exp(-x), mais à chaque fois  exp(-pi x)

Posté par athesa athesa

miracle j'ai trouvé (vive les erreurs d'étourderie après je te fais perdre ton temps à m'aider pour des betises)

sinon pour obtenir la transformée de laplace on fait bien la somme des Ik? enfin la série des Ik plutôt?

Posté par perroquet perroquet

La transformée de Laplace est en effet la somme des I_k, pour k variant de 0 à l'infini

Posté par athesa athesa

si je n'ai pas encore trouvé le moyen de faire une erreur le résultat est donc
[exp(-x)+1]/[(1-exp(-x)(x²+1)]

Posté par perroquet perroquet

C'est le bon résultat  

Posté par athesa athesa

merci pour l'aide ca m'a enlevé une grosse épine du pied (mais qui vient de se faire remplacer par une autre, un dm de géométrie, qui va etre mortel étant donné que je dois le rendre le lendemain après une grosse série de partiels autant dire que ca va être très dur)