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Bonsoir , voila en fait j'ai deux propositions à indiquer si elles sont vraies ou fausses. Les voici :

Prposition 1 : "Il existe un seul couple (a,b) de nombres entiers naturels tel que a<b et PPCM(a,b)-PGCD(a,b)=1"

Proposition 2 : "Si M et N sont deux entiers naturels tels que M a pour écriture abc et N a pour écriture bca en base 10 et si l'entier M est divisible par 27, alors l'entier M-N est aussi divisible par 27"

J'ai du mal a trouver. Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

bonjour, la 1) est vraie car si a=da'; b=db' avec d pgcd de a et b a' et b' 1ers entre eux d(a'b'-1)=1 donc d=1 a'b'=2 donc a'=1 b'=2 a=1;b=2
2) vrai car M=100a+10b+c  si M est divisible par 27 , il est divisible par 3 : a+b+c=3k
N=100b+10c+a ; M-N= 99a-90b-9c=9*(11a-10b-c)=9*(12a-9b-(a+b+c))=27*(4a-3b-k)

sauf erreur...

une idée pour la proposition1
soit d le PGCD(a,b);PPCM(a,b)=a*b/d ;a=da' et b=db'avec a'et b' premiers entre eux . PPCM(a,b)-PGCD(a,b)=1 <==>a'b'd-d =1
                                  <==>d(a'b'-1)=1==>a'b'-1divise 1;les diviseurs de1 sont 1donc a'b'-1=1 et a'b'=2 donca'=1et b'=2 (vu que a<b donc a'<b') et par conséquent a=da' et b=db'et le couple (a,b) est unique

pourquoi d=1?  on ne sait pas si a et b sont premiers entre eux d'une part et d'autre part le PGCD de 2 nombres quelconques a et b est unique

pour la proposition2,je suis d'accord

bonsoir pourquoi d=1 : car:

si
d(a'b'-1)=1
alors comme la seule facon pour qu'un produit d'entiers naturels  donne 1 c'est que chacun soit egal à 1

oui

merci pour la précision

bonsoir

Proposition1: Vrai
PPCM(a,b)-PGCD(a,b)=1
Comme PGCD divise PPCM donc PGCD(a,b) divise 1 donc PGCD(a,b)=1 car PGCD>0

donc PPCM(a,b)-1=1 donc PPCM(a,b)=2
comme PPCM(a,b)PGCD(a,b)=ab donc ab=2 donc a divise 2 comme 2 est premier donc a=1 ou a=2 comme a<b donc a=1 et b=2

Proposition2:
M=abc=100a+10b+c
N=bca=100b+10c+a

M-N=99a-90b-9c=9(11a-10b-c)

M=19a+10b+c (27) donc 19a+10b+c=0 (27)
N=19b+10c+a (27)
M-N=18a-9b-9c (27)
   =9(2a-b-c) (27)
   =27k donc 2a-b-c=0 (3)
2a=b+c (3)
il suffit donc de prendre a,b et c tels que 3 ne divise pas 2a-b-c

Watik,bien que tu as beaucoup d'idées ,je trouve ,concernant la proposition 2),la méthode de slorevic plus simple et plus convaincante;essaie de t'en inspirer

c'est quoi cette manière de juger le travail d'un autre membre qui plus est plus âgé que toi de ce que je sais sur watik. A chaque exercice, il y a plusieurs méthodes différentes (surtout en arithmétique) et ce n'est pas parce que l'une est plus simple qu'elle est mieux. Au contraire, il faut avoir vu un maximum de méthode pour progresser d'où l'idée de partager nos méthodes

j'interviens mais bon watik doit s'en fichtre de ce genre de remarque mais moi non car watik est un grand correcteur d'arithmétique et je prend toujours du plaisir à regarder ses méthodes (donc je l'encourage à continuer ...)

sur ce @+

Eh les petits...ne commencez pas à nous noter ca fait un peu notes2be!!

ah non non non mon intention était nullement de porter un jugement sur quiconque. justement je trouve ce message déplacé en ce que lune et etoile au lieu de dire "cette méthode est plus nulle" de: soit proposer une autre méthode, soit d'enrichir, soit de corriger (ça arrive) mais pas ce genre de remarque qui ne sert à rien d'autre que de démotiver les correcteurs (enfin j'y vais un peu fort là mais bon ...).

bon moi je clos.

Hum cela fait plaisir de voir que watik a des défenseurs
Tu n'es pas le seul à le défendre ,je pense moi aussi que c'est quelqu'un d'intelligent et de trés fort.j'ai lu plusieurs de ces réponses ,cependant je trouve que parfois elles ne sont pas accessibles à l'élève que je suis,aussi s'inspirer des méthodes n'est pas une mauvaise
une idée + une idée = 2 idées

s'inspirer des méthodes des autres des autres n'est pas une mauvaise chose et c'est aussi là aussi l'esprit de l'entr'aide

ne nous fachons pas et ayons l'esprit critique

bon , on clot???