Détermination d'un lieu géométrique

Posté par toto_tom toto_tom

Bonsoir,

j'ai besoin d'une aide particulière pour un TP de Maths. Voici l'énoncé :

Dans le plan orienté, on considère un triangle rectangle isocèle ABB' tel que (vecBB';vecBA)=pi/2 (2pi).
Soit M un point de la droite (BB') et M' l'image de A par la rotation de centre M et d'angle -pi/2.
On note I le milieu du segment [BB'] et J celui du segment [MM'].
On cherche à déterminer le lieu géométrique du point J lorsque M décrit la droite (BB').

Partie A : Conjectures

Cette partie se fait avec Geogebra.
J'ai réalisé la figure, j'ai conjecturé que le lieu géométrique de M' quand M décrit la droite (BB') est une droite.
J'ai conjecturé que les triangles ABI et AMJ sont rectangles respectivement en B et M.
Enfin, j'ai conjecturé que le lieu géométrique de J quand M décrit la droite (BB') est une droite.

Partie B : Démonstrations.

1)a) Déterminer la similitude directe s de centre A qui transforme M en M'.

Alors là, j'ai trouvé que c'était la similitude de centre A, de rapport racine de 2 et d'angle pi/4.
Est-ce bon? Je l'ai démontré par construction.

b) Démontrer la conjecture du lieu géométrique de M'.

En fait, j'ai trouvé que c'était une droite formant un angle de pi/4 avec la droite (BB'). Mais je l'ai déduit, je ne vois pas comment je peux le démontrer...
Pouvez-vous m'aider à y voir plus clair?



b)

Posté par toto_tom toto_tom

Oups, je n'ai pas fini de poster l'énoncé...

Voici la suite.

2)a) Démontrer que les triangles ABI et AMJ sont directement semblables.

J'ai utilisé la similitude s car celle-ci conserve les angles géométriques et transforme les triangles en triangles semblables.
Mais j'ai directement écrit AM=racine2*AB et AJ=racine2*AI et
(vecAB;vecAM)=pi/4 (2pi) et (vecAI;vecAJ)=pi/4(2pi) mais je ne suis pas sûr de vraiment démontrer en disant juste ça...

b)En déduire l'image de M par la similitude directe S de centre A qui change B en I.

J'en ai déduit que J est l'image de M.

c)En dééduire le lieu géométrique du point J quand M décrit la droite (BB').

J'en ai déduit que c'est une droite d'angle avec la droite (BB')...

3.Déterminer le rapport et une valeur approchée (10^(-3) radian près) de l'angle de la similitude S.

Ca je n'arrive pas du tout pour l'instant.

Posté par yoyodada yoyodada


bon je vais tacher de t'éclairer:

1) Tu sais que A devient M' par la rotation de centre M d'angle -Pi/4

si tu notes a l'affixe de A, m de M, m' de M' et ainsi de suite, on peut écrire:

m'- m = -i * (a - m)  (écriture d'une rotation d'angle -pi/4)
d'où m' = -i*(a-m) + m
donc m' = m*(i+1) - i*a

donc m --> m' par la similitude s(z) = z' = z(i+1) - i*a
tu vois que s(a) = a (1+i) - i*a = a. Le centre est bien a.
donc le rapport de ta similitude est |i+1| = racine(2), et l'angle est arg(i+1) = pi/4

b) donc tu as montré que tout M de (BB') devient M' par une similitude directe, donc qui conserve l'alignement. Ainsi, l'image de la droite (BB') est une droite, formant effectivement un angle de Pi/4 avec (BB')
Donc l'ensemble de J milieu de (MM') est une droite

2)
Comme (BB';BA) = Pi/2, alors (BI;BA) = pi/2 également.
De même, comme (MA;MM') = -pi/2, alors (MM';MA)= Pi/2
Donc (MJ;MA) = Pi/2
Comme M' est l'image de A par rotation de centre M, MA = MM'
et on sait que ABB' est rectangle isocèle.
D'où il vient que MJ=AM/2, et BI=BA/2
Donc les rapports BI/BA et MJ/MA sont identiques, et comme (MJ;MA)=(BI;BA)= pi/2, alors les triangles sont directement semblables.

Posté par yoyodada yoyodada

b)
on peut écrire:

S(A) = A
S(B) = I
Donc l'angle de S est (AB;AI) . Le rapport de S est AI/AB
si M --> M'' par S, alors tu peux écrire de même (AM;AM") = (AB;AI)
et AM"/AM = AI/AB

Or tu as montré que AMJ et ABI sont semblables directement.
Donc (AM;AJ)=(AB;AI) et AJ/AM) = AI/AB
Donc J = M", donc M---> J par S.

c) quand M décrit (BB'), et comme J est l'image de M par une similitude directe S, alors l'ensemble des points J est le transformé de l'ensemble des points M, à savoir(BB') par S.
l'ensemble des points J est donc une droite faisant un angle Théta (angle de la similitude S) avec (BB')

3) tu sais que l'angle théta de la similitude S est l'angle (AB;AI)
or tan (AB;AI) = BI/AB = 1/2 car le triangle ABB' isocèle rectangle.

Donc (AB;AI) = arctan (1/2) = 0,463647 radians, soit 25,565 degrés.

Posté par toto_tom toto_tom

Merci beaucoup pour toute votre aide, je ne m'y attendais pas.
Effectivement, j'étais loin de démontrer, mais bon je trouve cet exercice assez difficile.
Bonne soirée.