Forum : analyse :
Convergence normale

Bonjour à tous,

Qui peut m'expliquer le plus simplement possible les regles de la convergence normale d'une serie de fonctions

Bonsoir:

-tu calcules le Sup de la fonction ||fn|| sur le domaine: c'est un nombre positif un.

Si la série des un converge, alors a fortiori la série des ||fn|| converge, et cela pour tout x.

C'est la convergence normale, qui entraine les convergences uniformes, et simple.

Sauf erreur.

Je te remercie
Toutefois j'ai besoin de 2/3 explications supplémentaires.

citation :
le Sup de la fonction ||fn||

se trouve bien en exploitant la dérivée et les variations de Un?

citation :
la série des un converge

si tel n'est pas le cas,elle ne converge donc pas normalement,

citation :
la série des ||fn||

ne converge donc pas également.Comment montrer alors sa convergence uniforme?

Bonjour marine59,

jeanseb a appelé le sup des .

Dire que converge revient donc à dire que converge normalement.


Si elle converge normalement, elle converge uniformément, a fortiori.

Enfin pour ta première question, dériver n'est qu'une possibilité.

Parfois majorer suffit: ainsi, il est clair par exemple que la série de terme général (x²-1)/n² converge normalement sur [-1;1] puisque son terme général y est majoré par 2/n² .

Pourtant, 2/n² n'est pas le sup de (x²-1)/n² sur [-1;1].

Voici une série de fonctions:

1/n^x

Dans le cours on a montré qu'elle était normalement convergente sur [a;+] avec a > 1

Aprés on a étudié la convergence normale sur ]1;+[,
on arrive à çà:

Rn(x)=> 1/(2^x*n^x-1)

Comment montrer que la suite des restes converge uniformement ou ne converge pas?

Bonjour

et ceci ne tend pas vers 0.

Rn(x) est le reste de quelle série?

de 1/n^x

C'est une minoration...

Tu veux dire que Rn(x) est de même nature que la série de terme général ?

OK!

Que la suite...

Bon c'est quand même bizarre,

il me paraît beaucoup plus simple de dire, dans ce cas précis, que le sup sur ]1;+infini[ de est , qui est le terme général d'une série divergente: donc il n'y a pas CVN de la série initiale...

Je suis bien d'accord! mais je réponds aux questions, à savoir ce qu'ils cherchaient... Il s'agit de la fonction de Riemann sur laquelle il y a profusion de résultats!

OK, ça me rassure!

J'ai le meme cas avec la série suivante:

1/(n+n³x²)

On a montré la convergence uniforme par la suite des restes d'ordre n,on est arrivé à çà:

Rn(x)=>(1/2+8n²x²)

là je n'arrive pas à montrer ou non la convergence de la série

La série ne converge pas normalement si c'est ce que tu demandes, puisque le sup du terme général est 1/n, là encore...

Mais c'est pareil! Tu n'as pas besoin des restes... Pour x=0, ça diverge, ça converge pour tout x non nul, et sur un intervalle de la forme [a,+[ la série est majorée pour tout x par 1/(n+n³a) qui converge!

De toute façon, je ne vois pas le rapport entre l'étude des restes et l'étude de la CVN!

Les restes ne peuvent servir qu'à prouver la CVU!

je suis désolée c'est bien la convergence uniforme que l'on cherche à montrer

Ah bon... Tout ce qu'on a écrit s'appliquer aussi...

ok mais dans le cours le prof l'a fait avec la suite des restes donc j'aimerais bien comprendre s'il y a convergence uniforme ou non pour la série 1/(n+n3x2) dont Rn(x) est Rn(x)=>(1/2+8n2x2).

le prof s'est servi  de x=1/n pour montrer que Rn(x)=>1/10 mais je n'ai pas la suite donc je seche

Tu aurais pu le dire...Je ne comprends pas ce que représente ton Rn.

En revanche, à n fixé, on obtient      en choisissant          dans chaque terme.

Ceci est le reste d'une série divergente, donc il n'y a pas convergence uniforme sur ]0;+infini[.

Sur les intervalles de la forme [a;+infini[ et sur leurs symétriques, il y a CVN donc CVU.

Avec a > 0, bien sûr.

Rn représente la suite des restes d'ordre n de la série 1/(n+n3x2)

et la flèche => représente?...

supérieur ou egal

Ah bon!!!

OK, je pensais que c'était un truc vague du genre "correspond à"!

Si tu cliques sur la touche dessinée au bas du cadre, tu auras les symboles mathématiques usuels, pour mieux te faire comprendre.

OK, je ne sais pas comment ton prof trouve cela, moi j'ai trouvé autre chose (ce que j'ai écrit avant) , et ça me paraît concluant.

oui c'est bon je te remercie.

De rien.