Bonsoir , j'ai le polynome suivant : P(X) = 4X^4 - 8X³ + 19X² + 2X - 5 .
a)Montrer que (1+2i) est racine de P .
Un jeu d'enfant , j'ai développé ça fait bien 0 .
b) En déduire la décomposition de P en facteurs irréductibles dans R[X] et dans C[X] .
Alors je sais que si a = 1+2i est racine , b = 1-2i est racine aussi . Je sais que le polynome s'écrit donc (X - a)*(X - b) .
1ere question : comment connaitre les degré des polynomes X-a et X-b , quel théorème utilisé , la multiplicité ou autre ? Comment répondre à la question dans R[x] ?
merci
Salut, pour la multiplicité tu peux regarder les dérivées successives de ta fonction polynomiale et voir si a ou b est racine de ceux-ci.
par exemple tu calcule P'(x),si a est racine de P' alors l'ordre de multiplicité de a est au minimum 2.
Sauf erreur.
donc je dois bien utiliser la multiplicité comme théorème c'est bien ça que tu me dis ? c'est la démarche académique qu'on doit produire en examen ?
donc j'en déduis que la multiplicité de 1+2i c'est 3 et logiquement donc 1-2i c'est 1 , on aurait donc :
P(x) = (1+2i)³ (1-2i) , qu'en dis tu ?
Salut vous deux
Ce n'est pas nécessaire, il suffit de calculer Q=(X-a)(X-b) [c'est un polynôme de degré 2 à coefficients réels] puis de diviser P par le résultat.
On obtient un polynôme R de degré 2, puis on regarde si ses racines sont réelles ou pas.
Si oui, on a une décomposition de P dans R du type P(X)=Q(X).(X-c)(X-d).
Sinon, c'est P(X)=Q(X)R(X).
Dans C, le polynôme a 4 racines, distinctes ou non, on verra bien!
coucou tig , oui mais toi là tu fais une réponse de prof qui connait le sujet sur le bout des doigts , moi je cherche d'abord une méthode de cours de 1ere année , la tienne je l'ai jamais lu dans aucun cours , donc j'aimerais qu'on revienne à ma méthode de multiplicité s'il te plait , j'ai donc ça :
P(x) = (X - 1 - 2i)³ ( X - 1 + 2i) , c'est juste déjà cela ou pas ?
Non non, ma réponse était élémentaire au contraire!
Ta réponse est fausse, la multiplicité de 1+2i n'est pas 3 mais 1 puisque P' ne s'annule pas en 1+2i.
Calcule donc (X-a)(X-b), c'est mille fois plus simple!
tig j'ai encore 50 exercices de ce type à faire donc je veux d'abord savoir le faire avec la multiplicité , ensuite j'étudierai ta méthode avec plaisir :
donc si sa multiplicité est 1 , logiquement la multiplicité de 1-2i est 3 , ça me fait :
(X - 1 - 2i) ( X - 1 + 2i)³ , tu es d'accord ?
Salut Tigweg!
la méthode que te donne Tigweg est trés bonne et tu auras à l'utiliser plus tard...donc tu peux te familiariser avec dés maintenant
Vu que Tigweg a pris les choses en main...
Bonne nuit
Salut robby!
Ne pars pas, je ne vais pas rester longtemps!
Enfin bonne nuit si tu pars quand même!
sev->Non, les deux peuvent très bien être simples, qui te dit qu'il n'y a pas encore deux autres racines simples d'ailleurs?
d'accord d'accord , bon on va reprendre depuis le départ très précisément :
je connais 2 racines complexes 1+2i et 1-2i mais pour le moment elles ne m'intéressent pas car je veux connaitre une décomposition dans R[x] , donc pour avoir toutes les racines dans R[x] , je fais ta méthode tig ? en remplaçant a et b par les racines complexes ?
Décomposer dans R[X] ne signifie pas trouver les racines dans R, il peut ne pas y en avoir!
Ex, (X²+1)(X²+2) est LA décomposition dans R[X] de X^4+3X²+2, puisque les deux facteurs sont irréductibles dans R[X].
C'est bien pour ça que je t'ai suggéré de calculer Q=(X-a)(X-b) puis de considérer R=P/Q.
donc j'ai fait ce que tu as dit , je trouve R = (4X²-1) , j'en déduis que P = (X²-2X+5)(4X²-1) , qu'en dis tu ? je me pose cette question : puis je encore décomposer ?
Parfait,
tu ferais mieux de m'écouter de prime abord plutôt que de systématiquement commencer par chuiner! (Je plaisante, hein:!!)
4X²-1 n'est pas irréductible puisqu'il admet deux racines, c'est A²-B²=(A-B)(A+B).
Rappelle-toi bien que les seuls polynômes à coefficients réels irréductibles sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 qui n'ont pas de racines réelles.
Oui oui c'est cela!
Par contre X²-2X+5 est irréductible sur R[X] puisque son discriminant est strictement négatif.
Dans C[X] par contre, tu peux décomposer le premier comme au début de l'exo, tu auras en tout un produit de 4 facteurs de degré 1.
en fait tig tu aurais mieux fait de me dire directement qu'il fallait utiliser le théorème de la division euclidienne des polynomes , je viens de le remarquer petit cachotier !!!
Donc c'est magnifique je connais la méthode pour R[X] , mais maintenant je veux faire la décomposition dans C[X] , et j'ai déjà 2 racines (1+2i) et (1-2i) , donc là comment tu fais ?
donc pour C[x] , je dois obligatoirement calculer la multiplicité des 2 racines c'est ça le truc en fait ?
ok tig merci pour tout , question aux autres : vu qu'on a un polynome de degré 4 , on a au plus 4 racines , et pourtant on décompose en 5 facteurs , vous trouvez pas ça étrange ?
j'ai trouvé je crois : la décomposition dans R[x] c'est :
(x²-2x+5)(2x-1)(2x+1) .
et dans C[x] c'est :
(x-1-2i)(x-1+2i)(2x-1)(2x+1)
est ce juste ?
Une minuscule précision:
un jour d'examen, quand tu écris :
en fait quand on a un polynome de degré n à coefficients réels , il a au maximum n racines dans C[x] et est décomposable en maximum 4 éléments irréductibles n'est ce pas ?
et ta méthode en fait à la base est basée sur le fait que la multiplication d'un complexe par son conjugué donne un réel et de là on applique la division euclidienne ?
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