polynome

Posté par severinette severinette

Bonsoir , j'ai le polynome suivant : P(X) = 4X^4 - 8X³ + 19X² + 2X - 5 .

a)Montrer que (1+2i) est racine de P .

Un jeu d'enfant , j'ai développé ça fait bien 0 .

b) En déduire la décomposition de P en facteurs irréductibles dans R[X] et dans C[X] .

Alors je sais que si a = 1+2i est racine , b = 1-2i est racine aussi . Je sais que le polynome s'écrit donc (X - a)*(X - b) .

1ere question : comment connaitre les degré des polynomes X-a et X-b , quel théorème utilisé , la multiplicité ou autre ? Comment répondre à la question dans R[x] ?

merci

Posté par robby3 robby3

Salut, pour la multiplicité tu peux regarder les dérivées successives de ta fonction polynomiale et voir si a ou b est racine de ceux-ci.
par exemple tu calcule P'(x),si a est racine de P' alors l'ordre de multiplicité de a est au minimum 2.
Sauf erreur.

Posté par severinette severinette

donc je dois bien utiliser la multiplicité comme théorème c'est bien ça que tu me dis ? c'est la démarche académique qu'on doit produire en examen ?

Posté par robby3 robby3


>oula!
je sais pas mais je ferais comme ça

Posté par jeanseb jeanseb

Voui!

Posté par severinette severinette

j'ai calculé P'(1+2i) et c'est pas une racine...

Posté par robby3 robby3

Salut Jeanseb


>ok..donc..?

Posté par severinette severinette

donc j'en déduis que la multiplicité de 1+2i c'est 3 et logiquement donc 1-2i c'est 1 , on aurait donc :

P(x) = (1+2i)³ (1-2i) , qu'en dis tu ?

Posté par severinette severinette

P(x) = (X - 1 - 2i)³ ( X - 1 + 2i)

Posté par Tigweg Tigweg

Salut vous deux

Ce n'est pas nécessaire, il suffit de calculer Q=(X-a)(X-b) [c'est un polynôme de degré 2 à coefficients réels] puis de diviser P par le résultat.

On obtient un polynôme R de degré 2, puis on regarde si ses racines sont réelles ou pas.

Si oui, on a une décomposition de P dans R du type P(X)=Q(X).(X-c)(X-d).

Sinon, c'est P(X)=Q(X)R(X).

Dans C, le polynôme a 4 racines, distinctes ou non, on verra bien!

Posté par Tigweg Tigweg

Salut jeanseb!

Posté par severinette severinette

coucou tig , oui mais toi là tu fais une réponse de prof qui connait le sujet sur le bout des doigts , moi je cherche d'abord une méthode de cours de 1ere année , la tienne je l'ai jamais lu dans aucun cours , donc j'aimerais qu'on revienne à ma méthode de multiplicité s'il te plait , j'ai donc ça :

P(x) = (X - 1 - 2i)³ ( X - 1 + 2i) , c'est juste déjà cela ou pas ?

Posté par Tigweg Tigweg

Non non, ma réponse était élémentaire au contraire!

Ta réponse est fausse, la multiplicité de 1+2i n'est pas 3 mais 1 puisque P' ne s'annule pas en 1+2i.

Calcule donc (X-a)(X-b), c'est mille fois plus simple!

Posté par severinette severinette

tig j'ai encore 50 exercices de ce type à faire donc je veux d'abord savoir le faire avec la multiplicité , ensuite j'étudierai ta méthode avec plaisir :

donc si sa multiplicité est 1 , logiquement la multiplicité de 1-2i est 3 , ça me fait :

(X - 1 - 2i) ( X - 1 + 2i)³ , tu es d'accord ?

Posté par robby3 robby3

Salut Tigweg!
la méthode que te donne Tigweg est trés bonne et tu auras à l'utiliser plus tard...donc tu peux te familiariser avec dés maintenant
Vu que Tigweg a pris les choses en main...
Bonne nuit

Posté par Tigweg Tigweg

Salut robby!

Ne pars pas, je ne vais pas rester longtemps!

_{Enfin bonne nuit si tu pars quand même!}


sev->Non, les deux peuvent très bien être simples, qui te dit qu'il n'y a pas encore deux autres racines simples d'ailleurs?

Posté par severinette severinette

d'accord d'accord , bon on va reprendre depuis le départ très précisément :

je connais 2 racines complexes 1+2i et 1-2i mais pour le moment elles ne m'intéressent pas car je veux connaitre une décomposition dans R[x] , donc pour avoir toutes les racines dans R[x] , je fais ta méthode tig ? en remplaçant a et b par les racines complexes ?

Posté par Tigweg Tigweg

Décomposer dans R[X] ne signifie pas trouver les racines dans R, il peut ne pas y en avoir!

Ex, (X²+1)(X²+2) est LA décomposition dans R[X] de X^4+3X²+2, puisque les deux facteurs sont irréductibles dans R[X].

C'est bien pour ça que je t'ai suggéré de calculer Q=(X-a)(X-b) puis de considérer R=P/Q.

Posté par severinette severinette

donc j'ai fait ce que tu as dit , je trouve R = (4X²-1) , j'en déduis que P = (X²-2X+5)(4X²-1) , qu'en dis tu ? je me pose cette question : puis je encore décomposer ?

Posté par severinette severinette

je dirai oui en calculant les racines des polynomes de degré 2 t'en penses quoi?

Posté par Tigweg Tigweg

Parfait,

tu ferais mieux de m'écouter de prime abord plutôt que de systématiquement commencer par chuiner! (Je plaisante, hein:!!)

4X²-1 n'est pas irréductible puisqu'il admet deux racines, c'est A²-B²=(A-B)(A+B).

Rappelle-toi bien que les seuls polynômes à coefficients réels irréductibles sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 qui n'ont pas de racines réelles.

Posté par Tigweg Tigweg

Oui oui c'est cela!

Par contre X²-2X+5 est irréductible sur R[X] puisque son discriminant est strictement négatif.

Dans C[X] par contre, tu peux décomposer le premier comme au début de l'exo, tu auras en tout un produit de 4 facteurs de degré 1.

Posté par severinette severinette

en fait tig tu aurais mieux fait de me dire directement qu'il fallait utiliser le théorème de la division euclidienne des polynomes , je viens de le remarquer petit cachotier   !!!

Donc c'est magnifique je connais la méthode pour R[X] , mais maintenant je veux faire la décomposition dans C[X] , et j'ai déjà 2 racines (1+2i) et (1-2i) , donc là comment tu fais ?

Posté par severinette severinette

donc pour C[x] , je dois obligatoirement calculer la multiplicité des 2 racines c'est ça le truc en fait ?

Posté par Tigweg Tigweg



->Mais non, c'est ce que je t'avais dit dès le départ!!




->Ben non, c'est fini là, on les a les racines dans C!!

Posté par Tigweg Tigweg

Sev j'y vais, il  est tard!

Bonne nuit, j'espère que tu as tout compris!

Posté par severinette severinette

tiens c'est bizarre , on a 3 racines réelles , 2 complexes , ça fait 5 facteurs pour un degré 4 ?

Posté par severinette severinette

ok tig merci pour tout , question aux autres : vu qu'on a un polynome de degré 4 , on a au plus 4 racines , et pourtant on décompose en 5 facteurs , vous trouvez pas ça étrange ?

Posté par severinette severinette

j'ai trouvé je crois : la décomposition dans R[x] c'est :

(x²-2x+5)(2x-1)(2x+1) .

et dans C[x] c'est :

(x-1-2i)(x-1+2i)(2x-1)(2x+1)

est ce juste ?

Posté par Tigweg Tigweg

Re severinette,

oui c'est bien cela, et il n'y a que 4 facteurs

Posté par Tigweg Tigweg

Une minuscule précision:

un jour d'examen, quand tu écris :




précise que c'est parce que ton polynôme est à coefficients réels (c'est faux sinon).

Posté par severinette severinette

en fait quand on a un polynome de degré n à coefficients réels , il a au maximum n racines dans C[x] et est décomposable en maximum 4 éléments irréductibles n'est ce pas ?

et ta méthode en fait à la base est basée sur le fait que la multiplication d'un complexe par son conjugué donne un réel et de là on applique la division euclidienne ?

Posté par Tigweg Tigweg



->Oui



->Quoi???? Tu voulais dire n je pense!





->Dans les grandes lignes, c'est cela!

Posté par severinette severinette

ok merci tig

Posté par Tigweg Tigweg

De rien sev

Posté par jeanseb jeanseb

Bonsoir robby et tigweg et severinette

J'arrive après la bataille!

Posté par severinette severinette

salut jean

Posté par Tigweg Tigweg



->Mais pas forcément la guerre!