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polynome

Posté par
severinette
13-05-08 à 22:25

Bonsoir , j'ai le polynome suivant : P(X) = 4X^4 - 8X³ + 19X² + 2X - 5 .

a)Montrer que (1+2i) est racine de P .

Un jeu d'enfant , j'ai développé ça fait bien 0 .

b) En déduire la décomposition de P en facteurs irréductibles dans R[X] et dans C[X] .

Alors je sais que si a = 1+2i est racine , b = 1-2i est racine aussi . Je sais que le polynome s'écrit donc (X - a)*(X - b) .

1ere question : comment connaitre les degré des polynomes X-a et X-b , quel théorème utilisé , la multiplicité ou autre ? Comment répondre à la question dans R[x] ?

merci

Posté par
robby3
re : polynome 13-05-08 à 22:28

Salut, pour la multiplicité tu peux regarder les dérivées successives de ta fonction polynomiale et voir si a ou b est racine de ceux-ci.
par exemple tu calcule P'(x),si a est racine de P' alors l'ordre de multiplicité de a est au minimum 2.
Sauf erreur.

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 22:30

donc je dois bien utiliser la multiplicité comme théorème c'est bien ça que tu me dis ? c'est la démarche académique qu'on doit produire en examen ?

Posté par
robby3
re : polynome 13-05-08 à 22:32

Citation :
c'est la démarche académique qu'on doit produire en examen ?

>oula!
je sais pas mais je ferais comme ça

Posté par
jeanseb
re : polynome 13-05-08 à 22:33

Voui!

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 22:33

j'ai calculé P'(1+2i) et c'est pas une racine...

Posté par
robby3
re : polynome 13-05-08 à 22:34

Salut Jeanseb

Citation :
j'ai calculé P'(1+2i) et c'est pas une racine...

>ok..donc..?

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 22:35

donc j'en déduis que la multiplicité de 1+2i c'est 3 et logiquement donc 1-2i c'est 1 , on aurait donc :

P(x) = (1+2i)³ (1-2i) , qu'en dis tu ?

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 22:35

P(x) = (X - 1 - 2i)³ ( X - 1 + 2i)

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 13-05-08 à 22:37

Salut vous deux

Ce n'est pas nécessaire, il suffit de calculer Q=(X-a)(X-b) [c'est un polynôme de degré 2 à coefficients réels] puis de diviser P par le résultat.

On obtient un polynôme R de degré 2, puis on regarde si ses racines sont réelles ou pas.

Si oui, on a une décomposition de P dans R du type P(X)=Q(X).(X-c)(X-d).

Sinon, c'est P(X)=Q(X)R(X).

Dans C, le polynôme a 4 racines, distinctes ou non, on verra bien!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 13-05-08 à 22:38

Salut jeanseb!

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 22:39

coucou tig , oui mais toi là tu fais une réponse de prof qui connait le sujet sur le bout des doigts , moi je cherche d'abord une méthode de cours de 1ere année , la tienne je l'ai jamais lu dans aucun cours , donc j'aimerais qu'on revienne à ma méthode de multiplicité s'il te plait , j'ai donc ça :

P(x) = (X - 1 - 2i)³ ( X - 1 + 2i) , c'est juste déjà cela ou pas ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 13-05-08 à 22:44

Non non, ma réponse était élémentaire au contraire!

Ta réponse est fausse, la multiplicité de 1+2i n'est pas 3 mais 1 puisque P' ne s'annule pas en 1+2i.

Calcule donc (X-a)(X-b), c'est mille fois plus simple!

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 22:48

tig j'ai encore 50 exercices de ce type à faire donc je veux d'abord savoir le faire avec la multiplicité , ensuite j'étudierai ta méthode avec plaisir :

donc si sa multiplicité est 1 , logiquement la multiplicité de 1-2i est 3 , ça me fait :

(X - 1 - 2i) ( X - 1 + 2i)³ , tu es d'accord ?

Posté par
robby3
re : polynome 13-05-08 à 22:49

Salut Tigweg!
la méthode que te donne Tigweg est trés bonne et tu auras à l'utiliser plus tard...donc tu peux te familiariser avec dés maintenant
Vu que Tigweg a pris les choses en main...
Bonne nuit

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 13-05-08 à 22:53

Salut robby!

Ne pars pas, je ne vais pas rester longtemps!

Enfin bonne nuit si tu pars quand même!


sev->Non, les deux peuvent très bien être simples, qui te dit qu'il n'y a pas encore deux autres racines simples d'ailleurs?

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 22:57

d'accord d'accord , bon on va reprendre depuis le départ très précisément :

je connais 2 racines complexes 1+2i et 1-2i mais pour le moment elles ne m'intéressent pas car je veux connaitre une décomposition dans R[x] , donc pour avoir toutes les racines dans R[x] , je fais ta méthode tig ? en remplaçant a et b par les racines complexes ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 13-05-08 à 23:01

Décomposer dans R[X] ne signifie pas trouver les racines dans R, il peut ne pas y en avoir!

Ex, (X²+1)(X²+2) est LA décomposition dans R[X] de X^4+3X²+2, puisque les deux facteurs sont irréductibles dans R[X].

C'est bien pour ça que je t'ai suggéré de calculer Q=(X-a)(X-b) puis de considérer R=P/Q.

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 23:05

donc j'ai fait ce que tu as dit , je trouve R = (4X²-1) , j'en déduis que P = (X²-2X+5)(4X²-1) , qu'en dis tu ? je me pose cette question : puis je encore décomposer ?

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 23:06

je dirai oui en calculant les racines des polynomes de degré 2 t'en penses quoi?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 13-05-08 à 23:08

Parfait,

tu ferais mieux de m'écouter de prime abord plutôt que de systématiquement commencer par chuiner! (Je plaisante, hein:!!)

4X²-1 n'est pas irréductible puisqu'il admet deux racines, c'est A²-B²=(A-B)(A+B).

Rappelle-toi bien que les seuls polynômes à coefficients réels irréductibles sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 qui n'ont pas de racines réelles.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 13-05-08 à 23:11

Oui oui c'est cela!

Par contre X²-2X+5 est irréductible sur R[X] puisque son discriminant est strictement négatif.

Dans C[X] par contre, tu peux décomposer le premier comme au début de l'exo, tu auras en tout un produit de 4 facteurs de degré 1.

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 23:11

en fait tig tu aurais mieux fait de me dire directement qu'il fallait utiliser le théorème de la division euclidienne des polynomes , je viens de le remarquer petit cachotier   !!!

Donc c'est magnifique je connais la méthode pour R[X] , mais maintenant je veux faire la décomposition dans C[X] , et j'ai déjà 2 racines (1+2i) et (1-2i) , donc là comment tu fais ?

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 23:12

donc pour C[x] , je dois obligatoirement calculer la multiplicité des 2 racines c'est ça le truc en fait ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 13-05-08 à 23:15

Citation :
petit cachotier


->Mais non, c'est ce que je t'avais dit dès le départ!!


Citation :
donc pour C[x] , je dois obligatoirement calculer la multiplicité des 2 racines c'est ça le truc en fait ?


->Ben non, c'est fini là, on les a les racines dans C!!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 13-05-08 à 23:17

Sev j'y vais, il est tard!

Bonne nuit, j'espère que tu as tout compris!

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 23:18

tiens c'est bizarre , on a 3 racines réelles , 2 complexes , ça fait 5 facteurs pour un degré 4 ?

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 23:23

ok tig merci pour tout , question aux autres : vu qu'on a un polynome de degré 4 , on a au plus 4 racines , et pourtant on décompose en 5 facteurs , vous trouvez pas ça étrange ?

Posté par
severinette
re : polynome 13-05-08 à 23:30

j'ai trouvé je crois : la décomposition dans R[x] c'est :

(x²-2x+5)(2x-1)(2x+1) .

et dans C[x] c'est :

(x-1-2i)(x-1+2i)(2x-1)(2x+1)

est ce juste ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 14-05-08 à 11:42

Re severinette,

oui c'est bien cela, et il n'y a que 4 facteurs

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 14-05-08 à 11:43

Une minuscule précision:

un jour d'examen, quand tu écris :

Citation :
Alors je sais que si a = 1+2i est racine , b = 1-2i est racine aussi ,



précise que c'est parce que ton polynôme est à coefficients réels (c'est faux sinon).

Posté par
severinette
re : polynome 14-05-08 à 16:20

en fait quand on a un polynome de degré n à coefficients réels , il a au maximum n racines dans C[x] et est décomposable en maximum 4 éléments irréductibles n'est ce pas ?

et ta méthode en fait à la base est basée sur le fait que la multiplication d'un complexe par son conjugué donne un réel et de là on applique la division euclidienne ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 14-05-08 à 16:33

Citation :
en fait quand on a un polynome de degré n à coefficients réels , il a au maximum n racines dans C[x]


->Oui

Citation :
et est décomposable en maximum 4 éléments irréductibles n'est ce pas ?


->Quoi???? Tu voulais dire n je pense!


Citation :
et ta méthode en fait à la base est basée sur le fait que la multiplication d'un complexe par son conjugué donne un réel et de là on applique la division euclidienne ?



->Dans les grandes lignes, c'est cela!

Posté par
severinette
re : polynome 14-05-08 à 16:40

ok merci tig

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 14-05-08 à 16:46

De rien sev

Posté par
jeanseb
re : polynome 14-05-08 à 19:18

Bonsoir robby et tigweg et severinette

J'arrive après la bataille!

Posté par
severinette
re : polynome 14-05-08 à 19:32

salut jean

Posté par
Tigweg Correcteur
re : polynome 14-05-08 à 19:37

Citation :
J'arrive après la bataille!


->Mais pas forcément la guerre!



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