Forum : suites :
Intégration et suite

Bonjour à tous! Je bloque sur la récurrence de cet exo! J'ai beau avoir des idées mais je n'arrive pas à conclure!

On s'intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationneles qui converge vers e².
On définit pour tout entier n>=1, l'intérgrale:



1.Calculer I1, je trouve I1=e²-3
2.Etablir que pour tout entier naturel n>=1:

:c'est établit.

3.A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout entier n>=1:

: c'est fait aussi.

4.Démontrer par récurrence que:
Au premier rang c'est bon.
Soit n un entier naturel >=1 tel que:
Il s'agit de démontrer:

Or on sait que In=
On remplace dans Pn mais je n'obtiens pas le résultat voulu!

Comment supprimer le ?
Merci d'avance!!

Ben

Bonjour

Mais c'est bien ça le résultat voulu! Tu ajoutes un 2/k! à chaque fois sans supprimer ceux d'avant!

pardon, un 2^k/k!

Merci de ta réponse!
Donc j'ai fini la récurrence?!

Oui, oui, c'est bon!

Je profite de ta patience pour poster le reste de l'exo! Si tu pouvais me dire si c'est correct!


5. On pose pour tout entier naturel n>=1:

a.Calculer et preouver que pour tout entier naturel n>=3,

J'ai:

Et: pour tout n>=3:   et on arrive à:
On démontre que pour tout n>=1, Un est positif et on obtient le résultat cherché.

b. En déduire que pour tout naturel n>=3: .
D'après la question précédente, Un est géométrique de raison 1/2. (et Un positif)

On a donc pour tout n>=3:
Pour m=3:

6.En déduire la limite de Un et de In.

on a 0<1/2<1 donc limite de Un est égale à 0.
On se sert de l'encadrement du 2 pour conclure sur celle de In.D'après le théorème des gendarmes, la limite de In est également égale à 0.

7. Justifier enfin que

On sait que limIn=limUn=0 et e²=1+...+2^n/n!+In, d
onc

Je rame un peu pour la dernière question :s Si tu pouvais m'aider un peu ça serait cool!
Merci d'avance!
Ben

Ca c'est faux:

citation :
D'après la question précédente, Un est géométrique de raison 1/2. (et Un positif)

U_n est majorée par une suite géométrique mais n'en est pas une. Tu enlèves cette ligne, le reste de la démonstration est OK.

Pour finir il suffit d'écrire


_{Il est très joli ton exo et tu t'es bien débrouillé(e)}

Lol merci^^'

Je ne comprends pas trop la fin!

citation :
Un est majorée par une suite géométrique mais n'en est pas une

Comment rédiger ça alors? Car pour moi c'était Un qui était géométrique et c'est donc pour ça que j'ai écrit la relation de réc!

Pour la 7, je suis d'ac ac la limite et donc pour finir on ajoute la limite c'est ça? et lim e²=e² ?:$

EDIT: c'est pas ça qu'on appelle les séries de Taylor?!:$

C'est à partir de que tu dis que ce qui est à droite de l'inégalité est une suite géométrique de raison 1/2 donc lui il tend vers 0 et ensuite tu appliques les gendarmes à U_n.

Pour finir, tu écris:
puisque , on a bien

Ca marche pour la fin!

J'ai compris ce que tu écrits pour Un mais (je suis lourd dsl, je vx comprendre^^) ce qui est à droite c'est une suite géométrique, mais...c'est Un nan?!

Et ce que je ne comprends pas, c'est comment établir l'encadrement sans l'argument de la suite géométrique?!

Si c'était une suite géométrique, U_n+1/U_{[/sub] serait constant ce qui n'est pas vrai!
Tu as seulement montré que à partir de n=3, tu as U[sub]n+1}/U_n1/2.

De là, simplement par récurrence U_nU₃(1/2)^n-3

oki! Je te remercie!
Ben

Mieux vaut tard que jamais! De rien, ce fut un plaisir.