Bonjour à tous , j'ai l'exercice suivant : Soit F le R-espace vectoriel des applications de R dans R. Etant donné (a, b, c) dans R3, on définit l'elément g(a,b,c) de F par :
∀x ∈ R, g a,b,c(x) = (a + bx + bx² + cx³ + 2cx^4)e^−x.

a)Montrer que E défini par E = {g(a,b,c) | (a,b,c) R³} est un sous espace vectoriel de F .

g(0,0,0) = 0 , donc le vecteur nul appartient à F .

Soit u g(,a,b,c) , v g(a',b',c') appartenant à E . g(u+v) = e^-x[(a+a') + (x+x²)(b+b') + (x³+x^4)(c+c')] = (a+bx+bx²+cx³+2cx^4)e^-x + (a'+b'x+b'x²+c'x³+2c'x^4)e^-x , donc u+v appartient à F .

Soit R et u g(a,b,c) E .

u = (a + bx + bx² + cx³ + 2cx^4)e^−x = (a + bx + bx² + cx³ + 2cx^4)e^−x , donc c'est stable pour la multiplication , donc E est bien un sev de F .

b) déterminer une base de E et donner sa dimension .

Alors là franchement je réponds ça sans savoir justifier : (1+x+x²+x³ + 2x^4)e^-x .

Dimension 5 .

Que pensez vous de mes réponses ?

merci