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Trace de matrice et produit scalaire

Posté par
Erik 14-05-08 à 20:18

Bonjour! J'aurai besoin d'un peu d'aide pour un exo,

Pour (A,B) appartient à [Mn()]² on pose (A,B) = tr(AtB)    (tr(A)=\sum_{i=1}^n [A]_{ii} )

Je veux montrer que c'est un produit scalaire, et je suis bloqué pour montrer que (A,B) = (B,A)
(A,B) = tr(AtB) = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n [A]_{ik}[B]_{ki} mais ensuite je sais pas trop quoi faire, vu que le produit de deux matrices n'est pas commutatif (sauf si elles appartiennent à SO(2) mais c'est pas le cas ici je crois) je peux pas communter [A] et [B] ?

Voilà, merci de m'aider !

Posté par
Nightmarere : Trace de matrice et produit scalaire 14-05-08 à 20:21

Bonsoir

Il suffit de savoir que pour tout X et Y , tr(XY)=tr(YX), que 3$\rm ^{t}(XY)=^{t}Y^{t}X et que 3$\rm tr(^{t}X)=tr(X)

Posté par
jeansebre : Trace de matrice et produit scalaire 14-05-08 à 22:45

Bonsoir

Il me semble que si A = [a_{ij}] et B = [b_{ij}] alors \phi(A,B) = \Bigsum_{i=1}^n \Bigsum_{j=1}^n a_{ji}* b_{ji} et donc \phi(B,A) = \Bigsum_{i=1}^n \Bigsum_{j=1}^n b_{ji}* a_{ji}

donc c'est pareil.


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