Forum : droites et plans :
Barycentres dans l'espace

Bonjour à tous! J'ai un exercice sur les barycentres dans l'espace que je fais très maladroitement.Pourriez-vous me donner des conseils et m'indiquer comment faire ( je n'arrive pas à faire toutes les questions ) Merci d'avance pour votre gentillesse!
Voici l'énoncé:

ABCDEFGH est un cube d'arête 1.

(j'ai un schéma où ils tracent le triangle BED et le segment AD en pointillés, la base ABCD du cube est posée au sol.)

1.a.Exprimer plus simplement le vecteur AB+AD+AE (vecteurs)et en déduire que le produit scalaire AG.BD ( vecteurs) est nul.

Ce que j'ai fait :
Le vecteur AD est égal au vecteur BC car ce sont deux arêtes parallèles du cube. On a alors:
AB+AD+AE
=AB+BC+AE
=AC+AE
le vecteur AE est égal au vecteur CG car ce sont deux arêtes parallèles du cube, donc on obtient:
AC+AE
=AC+CG
=AG (vecteur).
Voila comment j'ai fait, je ne pense pas que ce soit très scientifique..
Et pour montrer que AG.BD=0 , c'est encore pire:
Comme le vecteur AG=AC+CG et que AC est orthogonal à BD(car ce sont les diagonales du carré ABCD), CG est orthogonal au plan BCD donc à BD, alors AG et BD sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul.(Est-ce qu'on peut décortiquer un vecteur pour prouver qu'il est orthogonal à un autre, juste en disant que ces composants en sont orthogonaux?)

b.Prouver de même que AG.BE=0 .

Je décompose les vecteurs (?), donc:
BE=BA+AE    (d'après la relation de Chasles)
AG=AD+DC+CG ( //        //            //   )
BA est orthogonal à AD et CG.
AE est orthogonal à DC.(d'après les propriétés du cube)
Donc AG ET BE sont orthogonaux et leur produit scalaire est donc nul.

c.Démontrer que la droite (AG) est perpendiculaire au plan (BDE).

Le vecteur AG est orthogonal aux vecteurs BD et BE(d'après les questions précédentes).Les droites (BD) et (BE) sont sécantes en B et appartiennent au plan (BDE). La droite (AG) étant orthogonale à deux droites sécantes du plan (BDE) alors  
elle est perpendiculaire au plan (BDE). (Est-ce juste?et suffisant?)

2. I est le centre de gravité du triangle BDE.
Déduire de la qst 1.a. que I est le point d'intersection de la droite (AG)  et du plan (BDE).
Préciser la position de I sur le segment [AG].

Ici je ne sais pas comment répondre.
I est issu du croisement des hauteurs du triangle BDE.?
GBDE est un tétraèdre avec vecAG orthogonal a vecBD donc I est le point d'intersection de (AG) et de (BDE)
Pouvez vous m'aider à répondre à cette question? Je ne vois pas ce qu'il faut faire.

3.L'espace est muni d'un repère (A, AB, AD, AE) (vecteurs).
a. Ecrire une équation du plan (BDE).

1x+1y+1z=0 (car une arête du cube vaut 1?)

b.Ecrire une équation paramétrique de la droite (d) passant par H et orthogonale au plan (BDE).

Soit M un point de (d) passant par H, alors HM=tAG (car je prend Ag comme vecteur normal au plan (BDE))
(x-1; y-0; z-1)=t(1-0; 1-0; 1-0)
Alors x=t+1
      y=t
      z=t+1 est une représentation paramétrique de (d).

c.Quelles sont les coordonnées du point d'intersection J de la droite (d) et du plan (BDE)?

Je résolve le système  x=-y-z
                       x=y+1
                       y=-x-z
                       z=y+1
                       z=-x-y  (?)

d.En déduire la distance de H au plan (BDE).

(j'applique la formule quand j'ai trouvé les coordonnées de J?)

Merci d'avance si vous pouvez m'aider!


  

Bonjour madesse,
OK pour 1 )
2) quelques erreurs
I est issu du "croisement" des "hauteurs" du triangle BDE.
I est  le centre de gravité du triangle BDE c'est "l'intersection" des" médianes"
de plus  on a surtout l'égalité vectorielle
IE+IB+ID=0
j'introduis le point G
IG+GE+IG+GB+IG+GD=0 ,j'introduis le point A
3IG+GA+AE+GA+AB+GA+AD=3IG+3GA+AB+AD+AE=3IG+2GA puisque d'après 1a) AB+AD+AE=AG
GI=2/3GA

bonjour

1a) ta réponse AG=AB+AD+AE est bonne
ton explication intuitive pour AG.BD=0 est bonne maintenant il faut le traduire en expression mathématique:

AG=AB+AD+AE
  =AC+AE  ; car AC=AB+AD diagonale du carré ABCD
AG.BD=AC.BD+AE.BD
     =AE.BD   ; car AC.BD=0 car AC et BD diagonales du carrée ABCD donc orthogonales
     =0 car AE est othogonal au plan ABCD donc au vecteur BD qui est parallèle à ce plan

b) il te suffit de dire que BE et BD jouent des roles symétriques pour les face ABCD et ABFE ( c'est aussi le cas de la diagonale DE) donc la démonstration est la même que 1a)
donc BE.AG=0

c)ta réponse est bonne

2) I est défini par:
BI+EI+DI=0  ; en vecteurs
donc
AI=(1/3)(AB+AE+AD)=(1/3)AG
donc I appartient à la droite (AG)
donc (AG) coupe le plan (BDE) en I
I se trouve au tiers de AG à partir de A

3)a)
dans le repère orthonormé (A,AB,AD,AE) les coordonnées des points sont:
B(1;0;0)
D(0;1;0)
E(0;0;1)
G(1;1;1)
donc
AG=(1;1;1)
BD=(-1;1;0)
BE=(-1;0;1)

AG est un vecteur normal au plan (BDE) donc l'équation cartésiènne de uplan (BDE) est : x+y+z+d=0 où d est une constante à déterminer.
B appartient à (BDE) donc 1+0+0+d=0 donc d=-1
donc l'équation du plan (BDE) est x+y+z-1=0

b)tu as bien commencé mais tu as fait une erreur

AH=AD+AE=(0;1;1)
HM=AM-AH
  =(x;y;z)-(0;1;1)
  =(x;y-1;z-1)  ; c'est ici que tu as fait une erreur j'ai détaillé pour que tu puisses comprendre
HM=tAG ssi x=t et y=1+t et z=1+t

c)ta réponse est fausse à cause de tes réponses pour 3a et 3b qui sont fausses:

x+y+z-1=0
x=t
y=1+t
z=1+t
donc
3t+2-1=0 donc t=-1/3
donc
x=-1/3
y=2/3
z=2/3
--------
voila

suite ,
3a) ton équation du plan (BDE) est fausse
tu sais que le vecteur AG est normal au plan (BDE) et le point I appartient au plan (BDE)calcules les coordonnées de I,
donc  M (x;y;z) appartient à (BDE )ssi IM*AG=O

2) Soit M un point de (d) passant par H, alors HM=tAG (car je prend Ag comme vecteur normal au plan (BDE))OK
(x-1; y-0; z-1)=t(1-0; 1-0; 1-0) erreur pour les coordonnées de H
mais H (0;1;1)  H est au dessus de D??
c) Tu résous le système à refaire pour trouver J
ensuite tu calcules JH

je n'avais pas vu la solution de Watik...

j'ai suivie avec la plus grande attention les réponses de chacun ,j'avoue que j'ai appris beaucoup;cependant j'ai une toute petite question:est ce que je peux dire que le point K(-1/3,+2/3,2/3)est le projeté du point H dans le plan (BDE)et que HK=I-1/3+2/3+2/3-1I/rac²(1²+1²+1²)?
je n'oublie pas de remercier chacun de vous trois (vous avez été formidables)

bonjour lune et étoile
Oui "J" tu l"as appelé "K" est le projeté de H sur (BDE) puisque (HJ) est perpendiculaire au plan et(HJ)inter (BDE)={1}
je ne comprends pas ton calcul pour HJ
HJ²=(-1/3-0)²+(2/3-1)²+(2/3-1)²=3/9
HJ=3/3

j'ai utilisée la formule de la distance d'un point à un plan ,je vois mon erreur soit il fallait calculer carement la distance HK ou bien utiliser la formule de la distance et c'est plutôt d(H ,(BDE))

merci pour votre aide (précieuse!)