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polynome
Bonjour , j'ai l'exercice suivant : Soit P le polynome à coefficients réels P(X) = X^4 - 6X³ + 14X² - 16X + 8 .
1)Le polynome est il irréductible dans R ? dans C ?
Non il n'est pas irréductible dans R car son degré est supérieur à 2 . Il n'est pas non plus irréductible dans C car son degré est supérieur à 1 ?
Ces justifications sont correctes ?
2)Montrer que 2 est racine de P et calculer son ordre de multiplicité .
P(2) = 0 , c'est bien une racine . P'(2) = 0 , P''(2) différent de 0 , son ordre de multiplicité vaut 2 .
3)En déduire la décomposition de P en facteurs irréductibles dans R , dans C .
Alors dans R , j'applique la division euclidienne des polynomes , et je divise P(X) par (X-2)² , ce qui me fait x²-2x+2 , j'ai donc 2 polynomes de second degré . Leurs discriminants étant nuls et négatifs , ils ne se factorisent pas , la décomposition finale dans R est donc : P(X) = (x²-4x+4)(x²-2x+2) .
Comme le seconde polynome a pour racines complexes 1-i et 1+i , la décomposition dans C est :
(x²-4x+4)(x-1-i)(x-1+i) .
Que pensez vous de mes réponses ?
merci
Bonjour
1) En effet il est réductible aussi bien dans R que dans C car de degré > 2.
Je te crois sur parole pour les calculs
La décomposition dans R est bonne mais celle dans C est (X-2)2(X-1-i)(X-1+i)
NON! Ecrire (X2-4X+4) qui est un polynôme réductible ou écrire (X-2)2 qui est le produit de deux polynômes irréductibles n'est pas pareil du tout!
Il est bien réductible puisqu'il se décompose en (X-2)
(X-2) De toute façon dans C tous les polynômes du second degré sont réductibles! En fait je viens de voir que tu as la même erreur dans la décomposition dans R.
ok camélia c'est compris , une dernière précision importante :
Pour C il suffit que le degré soit supérieur à 1 et non à 2 pour que le polynome ne soit pas irréductible n'est ce pas ? toi tu as écrit le contraire...
Non, moi j'ai écrit que pour un polynôme de degré 4 je suis sure qu'il est réductible aussi bien dans R que dans C.
oui mais je te pose la question : un polynome n'est pas irréductible dans C si son degré est supérieur à 1?
un polynome n'est pas irréductible dans R si son degré est supérieur à 1 ou égal 2 avec discriminant positif ?
Un polynôme est irréductible sur C si et seulement si son degré est au plus 1. Un polynôme est irréductible sur R si et seulement s'il est de degré 1 ou de degré 2 avec 
< 0.
A contrario: Un polynôme est réductible sur C si et seulement si son degré est supérieur (ou égal) à 2. Un polynôme est réductible sur R si et seulement s'il est de degré strictement supérieur à 2 ou de degré 2 avec 
0
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