Forum : fonctions :
Détermination d'une fonction f

Bonjour à tous, j'ai un problème avec un exercice de DM.. =/ J'aurais besoin de votre aide si cela est possible :


Soit f la fonction numérique définie, pour ton nombre réel x de l'intervalle [0;4], par f(x) = ax²+bx+c
Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;i,j) d'unité graphique 1cm.


On impose les conditions suivantes :
- f(0) = 2
- f(2) = 2
- la courbe C admet en son point d'abscisse 2 une tangente parallèle à l'axe des abscisses.


1) Calculer a, b et c pour que les trois conditions précédents soient remplies et en déduire que, pour tout x de l'intervalle [0;4], f(x) = 1/4x² - x + 2

2) Montrer que la fonction f admet sur [0;4] un minimum que l'on précisera.



Pour la question 1, je commence par :

f(0) = 2
f(0) = a*0² + b*0 + c = 2
Soit c = 2  

Mais après, le néant total, si vous pouviez m'aider...

vérifie ton énoncé il me semble qu'il y a une erreur, à moins d'une erreur de ma part !

En effet, je corrige :


Soit f la fonction numérique définie, pour ton nombre réel x de l'intervalle [0;4], par f(x) = ax²+bx+c
Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;i,j) d'unité graphique 1cm.


On impose les conditions suivantes :
- f(0) = 2
- f(2) = 1
- la courbe C admet en son point d'abscisse 2 une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

ah, c'est plus logique.

Donc tu peux écrire a*2²+b*2 + 2 = 1
Donc 4a + 2b = -1

comme f admet une tangente horizontale en 2, ca veut dire que f'(2) = 0
Donc 2a * 2 + b = 0
Donc 4a = -b

d'où en remplacant, -b + 2b = -1
donc b = -1.
On trouve par ailleurs que 4a = 1, donc a = 1/4

Donc l'expression du polynome f est
f(x) = 1/4 x² - x + 2

Oh eh bien merci, et pour le minimum, comment puis je faire ?

ah, oui

tu dérives donc ton machin, ca te donne:

f'(x) = 1/4*2*x - 1
      = x/2 - 1

en étudiant ton signe, tu remarques que pour x > 2, f'(x) > 0, et f est croisante.
De même, pour x < 2, f'(x) < 0 et f est décroissante.
Donc f décroit, atteint un minimum, puis croît.

CQFD