Forum : droites et plans :
Barycentres et géométrie dans l'espace (exo pondichéry 2008)

Bonjour, je bloque sur une question de cet exo.

On considère un tétraèdre ABCD
I milieu de [AB]
J milieu de [CD]
K milieu de [BC]
L milieu de [AD]
M milieu de [AC]
N milieu de [BD]
G isobarycentre des points A, B, C, D.

1) J'ai prouvé que (IJ) (KL) et (MN) sont concourantes en G
AB=CD  BC=AD  AC=BD (ABCD tétraèdre équifacial)
2) a)Nature des quadrilatères IKJL, IMJN et KNLM ? J'ai montré que c'étaient des parallélogrammes, pas plus ...

  b) Ici je bloque : En déduire que (IJ) et (KL) sont orthogonales.

Et je conclue par : Merci d'avance !

bonjour,

IKLJ parallélogramme
et KI = IL = LJ = JK
donc IKLJ losange
donc ...

...

Tu sais que (IJ) (KL) et (MN) sont concourrantes en G, qui est aussi leur milieu.

Donc (IJ) et (KL) se coupent en leur milieu, donc IKJL est un parallélogramme (idem pour les deux autres)

cependant: K milieu de [BC] et I milieu de [AB], donc IK = AC/2 (fameux théoreme de la droite des milieux)
comme IKJL est un parallélogramme, JL = AC/2

pour les mêmes raisons, KJ = IL = DB / 2

Or, comme le tétraèdre est équifacial, DB = AC
Donc KJ = IL = IK = JL = AC/2 = DB/2
Donc IKJL est un losange (pareil pour les deux autres)

Donc les diagonales (IJ) et (KL) sont perpendiculaires.
(pareil pour les autres losanges).

Ah ben oui ! Merci beaucoup à vous 2.