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compléter une base...
Bonsoir , j'ai l'exercice suivant : Soit F= R4[X] l'espace vectoriel réel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 4.
a) Peut-on compléter la famille ((X+1)²,(X−1)²)en une base de F ? Si oui donner une telle base.
Alors moi dans mon esprit , une base naturelle d'un tel espace est 1,x,x²,x³,x^4 .
Maintenant dans le couple qu'on a , on a juste la composante de la base pour le degré 2 , donc théoriquement je peux rajouter 1,x,x³,x^4 , le probleme c'est que ça me fait une base de dimension 6 au lieu de 5 , donc j'en déduis que c'est pas possible ?
merci de votre aide .
Bonsoir 
Déjà, as-tu vérifié si ta famille était libre? Car pour appliquer le théorème de la base incomplète il vaudrait mieux s'en assurer!
Re night l'algébriste , alors ça me ferait :
(x²+2x+1)+(x²+1-2x) = 0
2x²+2 = 0 , pas de solution , la famille n'est pas libre .
est ce juste ?
non je me suis gourrée , soient v1 et v2 , 2 vecteurs , ils sont libres si :
av1 + bv2 = 0 , pour a et b = 0 .
Donc ici ça fait a et b valant 0 car aucun des polynomes n'a de racines . t'en dis quoi?
je suis certaine que j'ai bon là , donc je rajoute ces éléments pour former une base :
1,x,x³,x^4 , là qu'en dis tu ? je suis pas certaine car ça nous ferait 6 éléments en tout...
Tu ne peux pas avoir 6 éléments... Ton espace est de dimension 4, ses bases ont toutes exactement 5éléments.
Déjà prends les 2 vecteurs d'origine (X+1)² et (X-1)²
On a , X est donc à éliminer de ta famille.
Il nous reste donc pour compléter la base 1, X^3 et X^4
Une base de R4[X] est donnée par (1,(X+1)²,(X-1)²,X^3,X^4)
Cela ne va pas du tout.
v1 et v2 libres si (av1+bv2=0 implique a=b=0). Avec votre définition, tout serait libre!
Supposons a(X+1)^2+b(X−1)^2=0
Alors en prenant X=1, on en déduit a=0, en prenant X=-1, on a b=0.
Et donc les deux trucs sont libres.
Clairement, vous pouvez ajouter X^3 et X^4 sans problème, maintenant, reste à trouver le quatrième pour former une base libre.
tu vois night , n'y vois aucune agressivité mais c'est ça qui va m'énerver très fort , c'est quoi encore cette bidouille de 1/2*... = X et on supprime X ,j'ai jamais vu ça ...
dans ta base la composante X elle existe pas...
je cherche dans des tutos , cours...mais je trouve pas de similitude avec la def d'une base et ton opération nightmare..
La composante X n'existe pas dans la base, mais tu peux la faire apparaître comme composition d'éléments de la base.
Tout comme avec une base (1,x^2,x^3,x^4) vous pouvez créer 1/2*x^3+3x-7
Une base qui contiendrait (x-1)^2, (x+1)^2, x, ne serait pas une base, puisque (X+1)^2-(x-1)^2-2x=0, et donc que a(X+1)^2+b(x-1)^2+cx=0 n'implique pas que a=b=c=0, et donc ce n'est pas une base.
tu veux dire qu'on peut prendre n éléments d'une base , d'un certain degré et en appliquant des opérations quelconques dessus faire apparaitre une composante spécifique d'une base ? je te crois mais je sais pas où t'as été pêcher cela , et je serai bien curieuse de le savoir s'il te plait
J'essaye de reprendre!
Pour avoir une base de R4[X] il faut qu'on puisse générer tous les monômes 1, X, X², X^3 et X^4.
Pour compléter ((X+1)²,(X-1)²) on a donc envie de rajouter ces 5 monômes.
Mais bien sûr comme je te l'ai dit on sait qu'une base de R4[X] est de cardinal 5 et là on aurait 7 vecteurs.
Cela veut donc dire qu'en ayant juste (X+1)² et (X-1)² on peut déjà générer 2 des monômes parmis les 5.
Reste à savoir lesquels !
Le plus évident est X².
Quel est l'autre?
Il est clair qu'on ne va pas pouvoir générer X^3 et X^4, faute de degré. On veut donc savoir si l'on va pouvoir générer X ou 1.
Supposons qu'on puisse tomber sur 1 en faisant une combinaison linéaire de (X-1)² et (X+1)²
On cherche a et b tels que a(X-1)²+b(X+1)²=1
Une identification nous dit que c'est impossible.
Conclusion, il ne nous reste comme possibilité que X.
Cherchons donc une combinaison linéaire de (X-1)² et (X+1)² qui donne X.
Là il n'y a pas de bidouille non plus, faut juste savoir faire des calculs.
En voit qu'en addition (X-1)² et (X+1)² on obtient 2X
Il suffit donc de diviser par 2 et on obtient X!
Pour résumer !
(X+1)² et (X-1)² permettent de générer les monômes X et X²
Pour compléter la base il suffit donc de rajouter les vecteurs 1, X^3 et X^4.
Est-ce compris?
c'est bcp plus clair en effet , il reste juste un léger coin obscur :
"
Cela veut donc dire qu'en ayant juste (X+1)² et (X-1)² on peut déjà générer 2 des monômes parmis les 5."
Pourquoi 2 et pas 1 ou 3 ?
Parce que comme je l'ai montré les 3 autres ne sont pas générables (Néologisme je sais). Et puis ce ne serait pas possible !
On a montré que ((X+1)²,(X-1)²) était libre.
Si l'on pouvait générer par exemple 1, X et X² avec seulement ((X+1)²,(X-1)²), cela voudrait dire que ((X+1)²,(X-1)²,X^3,X^4) serait une base, ce qui est en contradiction avec la dimension de R4[X]
Attention !
Revois ta définition !
Les coefficients dans les combinaisons linéaires sont des scalaires. En l'occurrence vu qu'on travail sur un R-vectoriel, nos coefficients sont des réels!
night un dernier petit truc , si je prends cette famille :
((x+1)² , x² + 1, x) , vu que la famille est pas libre là je peux pas en faire une base t'es ok ?
Tu ne peux pas la compléter en une base non, par contre tu peux retirer des vecteurs puis compléter la nouvelle famille en une base.
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