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Défi trigo

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  posté le 15/05/2008 à 21:09Défi trigo 
 posté par : matovitch
Bonjour à tous!

Voilà, je propose un défi, je pense qu'il vaut 3 étoiles, j'ai hâte de voir les différentes réponses :

citation :

      Rogerd (comme moi ) aime bien crayonner pendant que son PC démarre pour aller surfer sur l'île des mathématiques...Mais dispose seulement d'une règle pour tracer la médiatrice du segment [AB] de longueur 1, qu'il vient de tracer. Heureusement, il a une technique pour la tracer approximativement, voici comment il procède :

- il trace un segment issue de A de longueur 1 formant un angle 0 avec [AB] avec 0 ] 0 ; /2 [.

- ensuite, il trace un segment de longueur 1 (par exemple) issue de B, et passant par l'extrémité du dernier segment (on peut prolonger), et qui forme un angle 1(non orienté).

- puis, il trace un segment de longueur 1 issue de A, et passant par l'extrémité du dernier segment, qui forme un angle 2...ect...voir sur le déssin.

(Il fait de même de l'autre côté du segment pour avoir 2 points et ainsi tracer la médiatrice...)

Ainsi, on a : lim (n) = /3 = L

                    n+

Mais combien de segments k doit-il tracer pour avoir : k/L > 0,98 ?

Une démonstration du résultat est obligatoire, et l'usage d'un programme informatique est interdit.

La défi est accessible dès au niveau 1ère S, bon courage!

  posté le 16/05/2008 à 09:30Défi trigo *
posté par : rogerd 
Bonjour matovitch !

Je n'aurais jamais trouvé ça tout seul ! (tu me flattes)

 Cliquez pour afficher
Sans entrer dans les détails:

Un petit dessin où apparaissent des triangles isocèles montre que la suite vérifie la relation de récurrence .

On construit sur un même graphique les droites y=x et . Ayant porté  en abscisse, on fait donc apparaître 

 en ordonnée, qu'on renvoie en abscisse par réflexion par rapport à y=x. Je ne sais pas si cette technique graphique d'étude des suites est étudiée en première. Elle montre (bien sûr il faudrait accompagner ça d'une démonstration) que la suite converge effectivement vers L, en décroissant ou en croissant suivant que le premier terme est plus grand ou plus petit que L.

Dans le premier cas, l'inégalité requise est vérifiée dès le premier terme. Dans le deuxième cas le graphique montre que le deuxième terme est > donc le troisième etc..

 Je finirais le calcul un peu plus tard mais il me semble que le quatrième terme convient

  posté le 16/05/2008 à 11:54re : Défi trigo 
posté par : veleda
bonjour matovich Cliquez pour afficher
j'ai juste lu le texte ce matin avant de partir,il faut rétrécir l'intervalle auquel appartient 0,remplacer /2 par /3

car si 0>/3 l'inégalité est vérifiée par toutn

 c'est une idée à toi cet exo? c'est bien
  posté le 16/05/2008 à 12:57re : Défi trigo 
posté par : rogerd 
rebonjour

 Cliquez pour afficher
On peut abréger ce que j'ai fait précédemment, d'autant plus qu'on ne demande pas de montrer que la suite converge vers L.

Une fois qu'on a la relation de récurrence , il n'est pas nécessaire de faire l'étude graphique.

Il suffit de dire:

Quel que soit le choix de  dans , on a, en utilisant la relation de récurrence:

  puis

 puis

 puis

, qui est plus grand que  et c'est terminé. 

  posté le 16/05/2008 à 13:27Défi trigo
posté par : ThierryMasula
 Cliquez pour afficher
La méthode consistant à construire des triangles isocèles

Nous avons  

Substituons 

on obtient  càd  ou encore 

La condition d'arrêt de la construction étant 

Soit  répond à cette condition et on ne va pas plus loin,

sinon  y répondra.

Plus sérieusement, si la question est de savoir quand 

alors  arrondi à la valeur supérieure.

Dans le pire des cas k=6 et il aura fallu tracer 7 segments.
  posté le 16/05/2008 à 14:01re : Défi trigo 
posté par : matovitch
Bonjour à tous!

Excusez-moi, comme la justement fait remarquer TM, la question est de savoir quand 

rogerd >>
 Cliquez pour afficher

Il semblerai que tu aies fait une érreur dans la définition de la suite par récurrence...

Je pense que tu y es même si je n'ai pas procédé comme ça ...Courage! 

Veleda >>
 Cliquez pour afficher

J'attends ta réponse avec impatience...

Oui, c'est une idée que j'avais trouvée lors de l'énigme "règle trop courte",

j'ai étudié le fonctionnement plus en détail pour pouvoir poser ce défi... 

TM >>
 Cliquez pour afficher

Bravo parfait! 

J'avoue avoir fait autrement, et je ne comprends pas bien la fin du raisonnement (je suis en 1ère), mais la réponse est là !

Précis hein ? un segment de plus et on réduit l'écart de 2 !

Je pense que le log2 permmet de résoudre sans passer par la division par 2...(pas comme moi!^^)

  posté le 16/05/2008 à 15:15Défi trigo 
posté par : rogerd 
rerebonjour

 Cliquez pour afficher

Si le premier angle qui apparaît en A vaut , le premier angle qui apparaît en B vaut  (angle à la base d'un triangle isocèle).

De même le deuxième angle qui apparaît en A vaut 

etc..

Il me semble bien que ma formule de récurrence est juste.

Mais peut-être que dans ton idée, la lettre  désigne alternativement un angle en A et un angle en B?

  posté le 16/05/2008 à 17:00Défi trigo
posté par : ThierryMasula
Quel partie du raisonnement faut-il éclaircir ?

 Cliquez pour afficher
Peut-être le  qui donne la puissance du facteur 1/2 dans la formule en ...
  posté le 16/05/2008 à 18:11re : Défi trigo 
posté par : veleda
re matovich

je reviens un peu tard

a)relation entre n+1etn les angles avec AB de deux segments consécutifs tracés par A

n+1est angle de base dans un triangle isocèle d'angle principaln=> (1)2n+1+n=

doncn+1=-(1/2)(-)

on a donc une suite dite "arithméticogéométrique"

b)limite éventuelle de la suite

si cette suite a une limite L on a nécessairement L solution de  (2)2L+L==>L ne peut être que/3 

(1)-(2)=> n+1-L=-(1/2)(n-L)(3)

on posen-L=vn

 (3)=>vn+1=(-1/2)vn

donc|vn+1|=(1/2)|vn| c'est donc une suite géométrique de raison 1/2 donc elle converge vers 0,son premier terme est |v0|=|0-/3|

donc|vn|=(1/2)n|0-/3

la suite est évidemment nulle si 0=/3

il reste à écrire |vn|<0,02L ce qui donne(1/2)n<(0,02L)/|v0|  on passe aux log...
  posté le 16/05/2008 à 19:26re : Défi trigo 
posté par : matovitch
Rebonjour!

Bravo à rogerd, veleda et TM! Mais ma technique à un avantage sur la votre :

Et si les segments verts sont de longueur 3/2 ? 

Je vous donne jusqu'a lundi !

  posté le 16/05/2008 à 22:01re : Défi trigo 
posté par : veleda
je pensais avoir blanké

>>matovitch Cliquez pour afficher
une erreur de frappe dans ce que j'ai écrit avant que tu corriges ton inégalité il faut lire"tous les 2n>/3"
  posté le 24/05/2008 à 12:47Défi trigo
posté par : ThierryMasula
Dans le cas où les segments sont de longueur 3/2 alors   
   posté le 24/05/2008 à 12:55re : Défi trigo 
posté par : matovitch
Oui, exact!

Mais je posais cette question, car dans ce cas on ne peut pas utiliser les

triangle isocèle...(L  71,565°)

Enfin bref juste une question!

citation :
Rogerd (comme moi ) aime bien crayonner pendant que son PC démarre pour aller surfer sur l'île des mathématiques...Mais dispose seulement d'une règle pour tracer la médiatrice du segment [AB] de longueur 1, qu'il vient de tracer. Heureusement, il a une technique pour la tracer approximativement, voici comment il procède : - il trace un segment issue de A de longueur 1 formant un angle ₀ avec [AB] avec ₀ ] 0 ; /2 [. - ensuite, il trace un segment de longueur 1 (par exemple) issue de B, et passant par l'extrémité du dernier segment (on peut prolonger), et qui forme un angle ₁(non orienté). - puis, il trace un segment de longueur 1 issue de A, et passant par l'extrémité du dernier segment, qui forme un angle ₂...ect...voir sur le déssin. (Il fait de même de l'autre côté du segment pour avoir 2 points et ainsi tracer la médiatrice...) Ainsi, on a : lim (_n) = /3 = L n+ Mais combien de segments k doit-il tracer pour avoir : _k/L > 0,98 ? Une démonstration du résultat est obligatoire, et l'usage d'un programme informatique est interdit.

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