Approche Probabiliste D'Une Intégrale

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

Kikou à tous!!
Je suis élève en classe de terminale s, et j'ai un tp à faire et le problème c'est que je ne suis pas très bonne dans les démonstrations et je n'arrive pas à cerner l'énoncé; donc si vous pouvez et vous voulez bien m'aider, je vous en serais très reconnaissante

** lien vers l'énoncé effacé **

Voici le lien de mon tp!

Edit Coll : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum     

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

tu as le droit de recopier ton exo

Posté par mikayaou mikayaou

tu dois avoir cette courbe ?

** image effacée **



Edit Coll

Posté par mikayaou mikayaou

Oops

Posté par mikayaou mikayaou

merci Coll

sinon titeblondedu45, quand tu auras recopié ton énoncé, tu trouveras la primitive :

F(x) = -(1/2)(x-1)²e^2x + C

qui, entre 0 et 1 donne une aire de 1/2

A vérifier

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

Ok, pas de problèmes je pensais que cela serait plus lisible sur mon scan

Approche Probabiliste d'une Intégrale
______________________________________

Soit g la fonction numérique définie pour tou x appartenant à [0;1] par: g(x)=x(1-x)e^(2x) et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;i;j).

1/Visualisation:
----------------
a/À l'aide d'un grapheur représenter la courbe (C).
b/Soit I,J et K les points de coordonnées respectives (1, 0), (0, 1) et (1, 1).
Observer la position de la courbe (C) par rapport au carré OIKJ.

Dans la suite de l'exercice, on note D l'ensemble des points de coordonnée (x,y) tels que 0<x<1; 0<y<g(x).
Justifier que, lorsqu'on choisit un point au hasard à l'intérieur du carré OIKJ, la probabilité d'obtenir un point appartenant à l'ensemble D est égale à l'aire de cet ensemble (c'est à dire de la partie du carré OIKJ située sous la courbe (C)).


2/Simulation:
-------------
a/À l'aide d'un tableur, simuler le tirage d'un échantillon de 200 points à l'intérieur du carré OIKJ et déterminer la fréquence des points appartenant à D dans cet échantillon.
b/Réaliser 9 autres simulations de tirage d'échantillons de 200 points choisis au hasard dans le carré OIKJ et compléter le tableau de valeurs suivant où k est le rang de l'échantillon et fk la fréquence des points appartenant à l'ensemble D dans l'échantillon de rang k. Donner des valeurs décimales approchées à 10^-3 près.

rang k         1    2    3    4      5    6    7      8    9    10
fréquence fk 0.53 0.52  0.5 0.515 0.515 0465 0.505  0.56 0.52 0.545

c/Émettre une conjecture sur la probabilité que le point choisi appartienne à l'ensemble D.


3/Démonstration:
----------------
Dans cette question on envisage quelques formes de vérifications de la conjecture précédente.
a/ Exprimer la probabilité que le point choisi aléatoirement dans le carré OIKJ appartienne à l'ensemble D sous forme d'une intégrale. (Justifier)
b/Vérifier alors le résultat à l'aide de deux itnégrations par parties successives.





Voilà! Je viens même de remarquer qu'il me manque la conjecture ! Bref, en l'attente de vos réponses je vous remercie!

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

En effet c'est tout à fait cette courbe et nous nous intéressons à tous les points compris entre 0 et 1!

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

mikayaou comment trouves tu cela?


F(x) = -(1/2)(x-1)²e^2x + C

qui, entre 0 et 1 donne une aire de 1/2

Posté par mikayaou mikayaou

en intégrant ta fonction f

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

Je ne trouve pas ça personnellement je trouve -(1/2)(x^2-2x+1)e^(2x)

Posté par mikayaou mikayaou

ah oui ?

c'est étrange, non ?

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

Cependant je suis d'accord que cela fait 1/2 entre 0 et 1

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

Bah écoute , c'est dixit ma Ti89 lol

Posté par mikayaou mikayaou

et que penses-tu alors de

(x-1)² et (x²-2x+1) ?

qu'en dit ta TI89 ?

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

ooooooo Mea culpa

En effet, produit remarquable, cours de troisième (a+b)²=a²+2ab+b²

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

On est tellement machinisé, que j'en oublis mon latin!

Pour en revenir à mon problème, lorsque, dans l'énoncé, il est dit d'exprimer la probabilité que le point choisi aléatoirement dans le carré OIKJ appartienne à l'ensemble D sous forme d'une intégrale, comment dois-je m'y prendre?

Posté par mikayaou mikayaou

la "chance" d'être dans D est (Aire de la courbe)/(Aire du carré)

comme l'aire du carré vaut 1...

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

Je vais peut être paraître lourde mais comment tu peux affirmer cela stp ::

Posté par mikayaou mikayaou

jète une fléchette "au hasard" dans le carré,



plus la zone verte sera grande, plus les fléchettes seront dans D

tu le "ressens" ?

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

Donc si le nombre, en l'occurence, l'aire sous la courbe augmente la probabilité de toucher s'en ressentira? Et donc c'est pour ça que tu met l'air du carré en tant que totalité vu que c'est le max et l'aire de la courbe en haut car c'est euh je sais même plus comment on l'appelle xD !

Posté par mikayaou mikayaou

suppose que la surface verte soit un quart du carré

tu auras une chance sur quatre d'être dans la surface D

Posté par mikayaou mikayaou

au fait, ce sont tes premiers posts :

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

Oui, là je comprends tout à fait ce que tu me dis ! Mais pourquoi nous demande-t-il de le mettre sous forme d'intégrale?

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

Merci beaucoup lol , et moi comme première impression je ne peux que vous féliciter pour l'aide efficace que vous nous donnez!

Posté par mikayaou mikayaou

pourquoi une intégrale ?

vois-tu le lien avec la notion d'aire ?

Posté par mikayaou mikayaou

En guise de bienvenue, titeblondedu45 , voici une JFF à ton intention ( JFF = énigme Just For Fun dirait Kévin ) :

[détente]_JFF_La calculette de titeblondedu45

clique sur la maison

Enjoy!

Posté par yoyodada yoyodada

pour essayer d'être plus "cartésien", peut être pas plus clair , je sais pas:

tu prends un point M(x;y) dans ton carré.
Donc 0 < x < 1 et 0 < y < 1

L'ensemble D est la portion du carré telle que les points M(x;y) de D vérifient y < g(x).
pour que ton point soit dans la surface D, cela se traduit par
y < x*(x-1)*exp(2x) : c'est l'ensemble des points M qui vérifient cette condition (c'est comme ton card(A) en dénombrement)
donc l'ensemble des points M appartenant à D est l'intégrale entre O et 1 de g(x).
L'ensemble des points M possibles qu'on peut prendre dans le carré vérifient simplement 0 < y < 1 et 0 < x < 1

donc l'ensemble des points M possibles (le card(Oméga) en quelque sorte) est l'intégrale de 1 entre 0 et 1, donc vaut 1.

j'espère que c'était pas trop embrouillé !

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

pourquoi une intégrale ?

vois-tu le lien avec la notion d'aire ?




A bah oui exacte que je suis c*nne! L'intégrale permet de calculer l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction. Donc cela me permet de calculer l'aire; oui ! Merci beaucoup!
Et merci aussi beaucoup pour l'énigme mais je dois admettre que je n'arrive pas à la résoudre ^^'!

À toi yoyodada, je te rermercie aussi! Ton approche est on ne peut plus complète, certes complexe, mais complète et je m'en suis parfaitement abreuvée!

Je vais donc m'arrêter un peu pour ce soir et solliciterai peut être votre aide demain pour la deuxième question ou si j'ai besoin de quelque précisions pour la première!

Posté par yoyodada yoyodada

de rien

Posté par Kya45 Kya45

Heu, tite blonde, tu serais pas a Benjam par hasard? Parce ke g le mme TP a fr...

Posté par mikayaou mikayaou

g = j'ai
fr = faire

Posté par Kya45 Kya45

Autant pour moi! Je suis la première à râler sur les forums pour ce type d'écriture, mais il m'arrive d'en faire de même... Ce n'est pas le langage SMS pour ma part, mais plutôt le langage "PRISE DE NOTE"...

Posté par titeblondedu45 titeblondedu45

Non je ne suis pas à Benjamin Franklin mais étonnant que l'on aie le même TP! oO Toujours est-il que j'ai bien réussie la question N°1 et ce grâce à vous ; Cependant j'aurai besoin d'une part d'une petite précision: En effet dans la première question, il est dit qu'il faut le présenter sous forme d'intégrale; ça signifie que l'on ne doit pas calculer cette intégrale à savoir: -(1/2)(x-1)²e^2x + C. D'autre part, et c'est là que vien mon interrogation, je ne comprend pas pourquoi il nous est demandé dans la deuxième question de faire deux intégrations par parties succesives pour vérifier le résultat, d'ailleurs quel résultat faut-il vérifier, le 1/2 qui est l'intégrale de 0 à 1 ou bien l'intégrale en elle-même; si vous pouviez éclairer mes lanternes, ce serait super ^^! Merci d'avance!