Officiel de la Taupe 52

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 Officiel de la Taupe 52 Posté le 16-05-08 à 22:33
Posté par perroquet perroquet

Bonsoir.

Une planche sur les séries (Centrale option PC)

Citation :

Montrer que les conditions

            et  

définissent une suite et étudier sa limite éventuelle.

Soient             

Etudier la convergence des séries de terme général u(n) et v(n) puis celle de la suite w(n).

Au cas où la série de terme général v(n) est convergente, donner à  près, à l'aide de l'outil informatique, une valeur approchée de  ou de la limite de la suite (w(n)).

 re : Officiel de la Taupe 52 Posté le 16-05-08 à 22:46
Posté par MatOfScience MatOfScience

Bonsoir perroquet  , j'aimerais savoir ce qu'est l'officiel de la taupe ?

merci.
 re : Officiel de la Taupe 52 Posté le 17-05-08 à 13:00
Posté par perroquet perroquet

L'Officiel de la Taupe est une revue gratuite, qui parait une fois par an. Elle est envoyée à tous les élèves de Maths Spé, qui le demandent (en principe, parce qu'en pratique, c'est un peu plus compliqué).

Dans cette revue, on trouve une sélection d'oraux de mathématiques, de physique, de chimie, proposés à l'oral des concours des écoles d'ingénieurs : ENS,Polytechnique,Mines,Centrale,TPE,Ecoles militaires (Air,Saint-Cyr,Navale),ENSI (ou concours communs polytecniques),Arts et Métiers ... On y trouve seulement les énoncés (pas les corrigés). C'est ce qui explique que je propose certains de ces exercices.

Une petite précision en ce qui concerne les exercices de physique et de chimie: d'après mes collègues, ces exercices ne sont pas exploitables: énoncés incomplets, ou faux. Ce n'est pas le cas des exercices de mathématiques, même s'il y a certaines fois quelques petites fautes.
 re : Officiel de la Taupe 52 Posté le 17-05-08 à 14:52
Posté par MatOfScience MatOfScience

Merci perroquet pour cette réponse aussi précise.
 re : Officiel de la Taupe 52 Posté le 18-05-08 à 15:28
Posté par jandri jandri

Bonjour perroquet.

C'est un très bel exercice car le début est classique alors que la fin demande d'écrire un algorithme pour obtenir une valeur approchée de la limite de w(n) (avec majoration de l'erreur).

Si on programme cet algorithme, il y a une surprise à la fin car la limite de w(n) est remarquable.

D'où une question supplémentaire (difficile sans indication) : calculer la valeur exacte de la limite de w(n).
 re : Officiel de la Taupe 52 Posté le 18-05-08 à 16:24
Posté par gui_tou gui_tou

Bonjour.

jandri,

 Cliquez pour afficher
Me suis-je trompé, ou  ?
 re : Officiel de la Taupe 52 Posté le 18-05-08 à 22:03
Posté par jandri jandri

 gui_tou

Très bien pour le résultat (à condition de commencer à n=0).

Cependant le plus difficile est de le démontrer!
 re : Officiel de la Taupe 52 Posté le 24-05-08 à 19:13
Posté par perroquet perroquet

Bonjour

Une solution de l'exercice, en blanké

 Cliquez pour afficher

On démontre l'existence de  par récurrence. Celle de  est assurée par définition. Supposons que  existe (il est donc strictement négatif). Alors,  le trinôme  admet deux solutions réelles puisque son discriminant est strictement positif (rappelons que  est positif. Le produit de ces racines est égal à , donc , l'une des racines est strictement positive et l'autre est strictement négative. Ceci assure donc l'existence et l'unicité de  tel que 

L'égalité   assure que .Comme, par ailleurs,  est majorée par 0, la suite , qui est croissante et majorée est donc convergente. Notons  sa limite. En passant à la limite dans l'égalité , on obtient  donc .

. Donc, la série  est une série convergente, à termes positifs (la somme de cette série étant égale à ).  

Par concavité de la fonction  sur , la courbe représentative de cette fonction est en-dessous de sa tangente en . En particulier:    

Donc: 

On déduit donc de la convergence de  la convergence de 

Comme , on en déduit la convergence de .

On passe maintenant au calcul approché demandé. L'énoncé nous laissant le choix, on choisit le calcul de . Pour cela, on va chercher un majorant du reste d'ordre . On a:

Il suffit donc de déterminer  tel que  .

Il ne reste plus qu'à programmer cela. Voici le listing Maple.

> x:=-2.:v:=0: while -x>10^(-2) do x1:=(1-sqrt(1-4*x))/2:v:=v+ln(1+x1-x): x:=x1: od:v;exp(v);

                             1.599508762

                             4.950599904

Attention, la limite de w(n) n'est pas connue à 0,01 près. Ce qui est connu à 0,01 près, c'est la somme des v(n)

En ce qui concerne le complément proposé par jandri, je sèche 

Il ne reste plus qu'à lui demander un indice  
  re : Officiel de la Taupe 52 Posté le 24-05-08 à 22:13
Posté par jandri jandri

Bonjour,

La démonstration de perroquet est très bien; on peut cependant améliorer la précision du calcul approché (erreur majorée par 3/n3). 
 Cliquez pour afficher
On approche  par . 

De |ln(1+x)-x|<x2/2 on déduit que .

Par ailleurs, de , on déduit que  donc ; par suite, .

On a donc .

Une valeur approchée de  à la précision  est donc .

On peut alors calculer une bonne valeur approchée de la limite de la suite w(n) pour différentes valeur de x0; on remarque par exemple que si x0 est entier, la limite semble être un entier que l'on calcule facilement en fonction de x0. Pour ceux qui n'aiment pas utiliser un ordinateur, voici la limite que l'on conjecture:
 Cliquez pour afficher

Une belle astuce (que j'ai eu du mal à trouver!) permet alors de démontrer en 4 lignes que c'est bien la limite.

C'est donc un bien bel exercice, merci à perroquet de nous l'avoir proposé.

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