Forum : énigmes :
[détente]_JFF_aritmétique ou géométrique ?

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Considères-tu que ni Kévin, ni moi n'ayons fait de fautes de calculs ?

Je suppose que ces deux entiers sont distincts, sinon A=B=11k pour k allant de 1  à 9 convient

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Je n'ai pas beaucoup de temps je vais sortir, mais en vrac :

Soit et .

On a .

On sait alors que a et b sont des carrés de même parité.

Par ailleurs on sait que et d'où

Donc avec .

Mais bizarrement je ne trouve aucun carré qui ne correspond...

Je m'y repenche plus tard

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Sans vérification: je trouve 32 et 98.
Si c'est bon, la justification suivra, si nécessaire.

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Oups non j'ai raconté n'importe quoi plus haut

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pour la subsidiaire, pourrait-il s'agir de Laurent Lafforgue quand il était tout jeune, qui fut Chargé de recherche au CNRS dans l'équipe "Arithmétique et Géométrie algébrique" de l'Université d'Orsay ?

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est divisible par 9

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a et b sont les deux nombres
la différence des carrés des moyennes = a²/4 + ab/2 + b²/4 - ab = ((a-b)/2)²
or c'est le produit de la somme, divisible par 11, et de la différence, divisible par 9, des moyennes
((a-b)/2)² = est divisible par 9, (a-b)² est divisible par 396; a-b est divisible par 66
a et b ne sont pas divisibles 11 : leur moyenne arithmétique aurait deux chiffres identiques
si a et b sont divisibles par 3, soit l'un est divisible par 27, soit aucun des deux n'est divisible par 9 et alors le plus petit des deux est un multiple de 9 plus 3
mais 3*69, 12*78, 21*87, 27*93, 30*96 ont chacun un facteur premier en un seul exemplaire, ce qui l'empêche d'être un carré
il est impossible aussi que a et b n'aient tous deux que 2 comme facteur premier
donc l'un des deux nombres est divisible par le carré d'un nombre premier autre que 2 et 3
25*91 et 75*9 ne sont pas des carrés
mais 32*98 est un carré
la moyenne arithmétique de 32 et de 98 est 65; leur moyenne géométrique est 56

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je traduis le texte
(a+b)/2=10d+u
(ab)=10u+d
(a+b)²/4-ab=(a-b)²/4
donc(10d+u)²-(10u+d)²=(a-b)²/4
soit
(a-b)²=4(99)(d²-u²)=2².3².11(d+u)(d-u)
le membre de gauche est un carré donc celui de droite aussi=>11 divise (d+u)(d-u)
mais 1(d-u)<9 et (d+u)<19  on en déduit que 11 doit diviser d+u donc d+u=11 et(a-b)²=2².3².11²(d-u)  nouvelle déduction : (d-u) est un carré et comme (d-u)<9 ou bien (d-u)=1 ou bien (d-u)=4 mais (d+u) et (d-u) ont la même parité donc 4 est à rejeter
d+u=11 et (d-u)=1 => d=6,u=5
on en déduit
(a+b)=130
ab=56²
les nombres a et b sont donc solutions de l'équation X²-130X+(56)²=0  =>les nombres sont 32 et 98