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Exo défi : Expression d'une intégrale
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posté le 17/05/2008 à 13:50 Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : gui_touBonjour 
En relisant mes cours de début de sup, je suis tombé sur un exo abordable par des terminales.
Indication : des sommes doivent apparaître ..
Bonne réflexion
En relisant mes cours de début de sup, je suis tombé sur un exo abordable par des terminales.
| citation : |
|---|
| On définit la fonction F pour Donner une expression simplifiée de |
Indication : des sommes doivent apparaître ..
Bonne réflexion
posté le 17/05/2008 à 14:42re : Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : mikayaousalut guitou
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Cliquez pour afficher posté le 17/05/2008 à 14:44re : Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : gui_toumika >
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Cliquez pour afficher posté le 17/05/2008 à 14:45re : Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : mikayaouautre hypothèse de recherche
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Cliquez pour afficher posté le 17/05/2008 à 14:51re : Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : 1 Schumi 1mika >>
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Cliquez pour afficher posté le 17/05/2008 à 14:52re : Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : mikayaououi, tu as raison Schumi 
posté le 17/05/2008 à 14:56re : Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : gui_toumika
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Cliquez pour afficher posté le 17/05/2008 à 14:58re : Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : ottoguitou
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Cliquez pour afficher posté le 17/05/2008 à 15:00re : Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : gui_touArg, ça m'apprendra à mieux tenir mes brouillons.
posté le 18/05/2008 à 11:23re : Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : gui_touBon ok c'est assez calculatoire, je poste une solution dans la semaine.
posté le 18/05/2008 à 15:21re : Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : gui_touAyoub, je ne veux pas verdir ton topic donc ... 
posté le 28/05/2008 à 19:58re : Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : gui_touTite proposition de correction.
Soient
\,=\,{\(\fr{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)}^{2p}\,=\,\fr{1}{(2i)^{2p}}\times\(e^{ix}-e^{-ix}\)^{2p}\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{k=0}^{2p}\(2p\\k\)\(e^{ix}\)^k\,\times\(-e^{-ix}\)^{2p-k})
\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{k=0}^{2p}\(2p\\k\)e^{ikx}\,\times\(-e^{-ix(2p-k)}\)\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{k=0}^{2p}\(2p\\k\)(-1)^k e^{2ix(k-p)})
On peut se contenter de ne garder que la partie réelle, la partie imaginaire étant nulle :
\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{k=0}^{2p}\(2p\\k\)(-1)^k \cos\(2x(k-p)\))
Ainsi,=\Bigint_0^x\sin^{2p}(t)dt\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{k=0}^{2p}\(2p\\k\)(-1)^k \Bigint_0^x\cos\[2t(k-p)\]dt)
On pose=\Bigint_0^x\cos\[2t(k-p)\]dt)
On a alors=\{\[\fr{1}{2(k-p)}\sin\[2t(k-p)\]\]_0^x=\fr{\sin\[2x(k-p)]}{2(k-p)}\;\rm{si k\not=p}\\x\;\rm{si k=p)
En scindant la somme en deux paquets,
\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{0\le k\le p-1}\(2p\\k\)(-1)^k \fr{\sin\[2x(k-p)]}{2(k-p)}\,+\,\fr{(-1)^p}{4^p}\(2p\\p\)(-1)^p.x\,+\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{p-1\le k\le 2p}\(2p\\k\)(-1)^k \fr{\sin\[2x(k-p)]}{2(k-p)})
dt\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\(2p\\p\)(-1)^p.x\,+\,2\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{k=0}^{p}\(2p\\k\)(-1)^k\,\times \fr{\sin\[2x(k-p)]}{2(k-p)})
Soient
On peut se contenter de ne garder que la partie réelle, la partie imaginaire étant nulle :
Ainsi,
On pose
On a alors
En scindant la somme en deux paquets,
posté le 28/05/2008 à 20:57re : Exo défi : Expression d'une intégrale
posté par : 
Nightmare (Modérateur)Mouai, je croyais que la consigne était de donner une expression simplifiée de F(x)
Au final quand on voit la somme discrète, on se dit qu'il vaut mieux garder la forme intégrale...
Au final quand on voit la somme discrète, on se dit qu'il vaut mieux garder la forme intégrale...
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