posté le 17/05/2008 à 16:21re : Surjectivité-injectivité
Bonjour
Une application f est injective si et seulement si f(x)=f(y) entraîne x=y.
Ou bien si tu as quelques notions d'algèbre linéaire, si et seulement si Ker(f)={0}.
posté le 17/05/2008 à 16:31re : Surjectivité-injectivité
posté par : Petiois
Ok merci, donc si je prends une application f: IR --> IR
x --> y
il faut que f(x)=f(y) ? Mais comment je fais pour montrer par exemple que f: IR --> IR est surjective ?
x --> ax²+bx+c
Merci
posté le 17/05/2008 à 16:38re : Surjectivité-injectivité
posté par : gui_tou
Salut
En version exercice : (je considère f:E-->F
¤ Pour montrer que f est injective, prends x et y dans E, suppose f(x)=f(y) et montre que x=y.
¤ Pour montrer que f est surjective, prends un y quelconque dans F, et montre que y est l'image d'un x par f, soit y=f(x).
Une fonction de type f(x)=ax²+bx+c n'est pas surjective, puisque il existe des y dans R tels qu'il n'existe pas de x dans R, où y=f(x).
posté le 17/05/2008 à 16:39re : Surjectivité-injectivité
Non attention, lorsque j'écris f(x)=f(y), les éléments x et y appartiennent à l'ensemble de départ.
Prenons un exemple, considérons

, est-elle injective ?
Oui car
=f(y)\Right 2x=2y\Right x=y)
.
C'est un cas simple mais ça illustre bien la chose.
Sais-tu ce qu'est une fonction surjective ?

posté le 17/05/2008 à 16:39re : Surjectivité-injectivité
Va réviser toi

posté le 17/05/2008 à 16:59re : Surjectivité-injectivité
posté par : Petiois
Oui je sais ce qu'un une fonction surjective, c'est quand la fonction possède au moins un antécedent da
posté le 17/05/2008 à 17:00re : Surjectivité-injectivité
posté par : gui_tou
Ca m'embête quand les gens ne finissent pas leur
posté le 17/05/2008 à 17:00re : Surjectivité-injectivité
posté par : Petiois
Désolé,
Surjective c'est quand la fonction possède au moins un antécédent dans l'ensemble de départ.
posté le 17/05/2008 à 17:01re : Surjectivité-injectivité
Euh pas tout à fait, c'est si pour tout élément de l'ensemble d'arrivée on peut trouver au moins un antécédent par f.
posté le 17/05/2008 à 17:02re : Surjectivité-injectivité
posté par : gui_tou
C'est pas très rigoureux.
f est surjective si tout élément de son ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent par f dans l'ensemble de départ.
posté le 17/05/2008 à 17:34re : Surjectivité-injectivité
posté par : Petiois
Ok, en ce qui concerne l'injectivité si on prend : f: IR-->IR est-elle injective ?
x-->x²
Logiquement oui car : f(x)=f(y)=> x²=y² => x=y
Or en regardant le graphe c'est faux pourquoi ?
posté le 17/05/2008 à 17:43re : Surjectivité-injectivité
posté par : Petiois
Ah oué exact merci, donc x-->x² est surjective car:
y=f(x) => y=x² => racine(y)=x
C'est ca ?
et si je veux démontrer que f: IR-->IR² est injective ça donne quoi ? Car je sais qu'il faut faire f(x)=f(y= mais je ne vois pas.
X-->(X²,eX)
Merci
posté le 17/05/2008 à 17:43re : Surjectivité-injectivité
posté par : Petiois
Ah oué exact merci, donc x-->x² est surjective car:
y=f(x) => y=x² => racine(y)=x
C'est ca ?
et si je veux démontrer que f: IR-->IR² est injective ça donne quoi ? Car je sais qu'il faut faire f(x)=f(y= mais je ne vois pas.
X-->(X²,eX)
Merci
posté le 17/05/2008 à 17:46re : Surjectivité-injectivité
posté par : Petiois
Ok merci je vois
posté le 18/05/2008 à 15:33re : Surjectivité-injectivité
posté par : Petiois
Merci j'ai bien compris pour l'injectivité, mais en revanche la surjectivité je ne vois pas comment la démontrer, pouvez-vous me montrer avec un example suffisaùent dur.
Merci
posté le 18/05/2008 à 15:38re : Surjectivité-injectivité
posté par : gui_tou
Soit f la fonction définie par
=x^3+3x-4)
.
¤
¤
¤ f continue sur
donc
={\bb R})
et f surjective.
¤ f dérivable sur

et
f est strictement croissante, donc f injective
Conlusion : f réalise une bijection de

dans

posté le 18/05/2008 à 16:12re : Surjectivité-injectivité
posté par : Petiois
Ok merci, je n'avais pas pensé à étudier les limites.
Mais si on pose comme question :
f: IR-->IR trouver a,b,c pour que f soit surjective comment faire?
x-->ax^3+bx^2+cx+d
Merci
posté le 18/05/2008 à 16:21re : Surjectivité-injectivité
posté par : gui_tou
Pour la surjectivité, il faut que
={\bb%20R})
donc que f ait deux limites infinies (en +ou- infini) différentes.
Ici, je dirais : f surjective
Sauf erreur.
posté le 18/05/2008 à 16:56re : Surjectivité-injectivité
posté par :
lafol (Correcteur)
Bonjour
si on ne te demande que "trouver a,b,c" tu peux te contenter d'un exemple (genre a =1, b=c=0)
si on te demande "trouver tous les (a,b,c) "fais comme gui-tou te dit
salut guitou
