Surjectivité-injectivité

Posté par Petiois Petiois

Bonjour,

J'ai des cours en 1er année d'école d'ingé qui porte sur les notions de Surjectivité et Injectivité d'applications.
Je connais les définitions de ces dernières, mais je ne vois pas comment montrer qu'une application est soit injective soir surjective?
Pouvez-vous m'aider sur la méthode?

merci

Posté par infophile infophile

Bonjour

Une application f est injective si et seulement si f(x)=f(y) entraîne x=y.

Ou bien si tu as quelques notions d'algèbre linéaire, si et seulement si Ker(f)={0}.

Posté par Petiois Petiois

Ok merci, donc si je prends une application f: IR --> IR
                                               x --> y

il faut que f(x)=f(y) ? Mais comment je fais pour montrer par exemple que   f: IR --> IR           est surjective ?
                                                                                x --> ax²+bx+c

Merci

Posté par gui_tou gui_tou

Salut

En version exercice : (je considère f:E-->F

¤ Pour montrer que f est injective, prends x et y dans E, suppose f(x)=f(y) et montre que x=y.

¤ Pour montrer que f est surjective, prends un y quelconque dans F, et montre que y est l'image d'un x par f, soit y=f(x).

Une fonction de type f(x)=ax²+bx+c n'est pas surjective, puisque il existe des y dans R tels qu'il n'existe pas de x dans R, où y=f(x).

Posté par infophile infophile

Non attention, lorsque j'écris f(x)=f(y), les éléments x et y appartiennent à l'ensemble de départ.

Prenons un exemple, considérons , est-elle injective ?

Oui car .

C'est un cas simple mais ça illustre bien la chose.

Sais-tu ce qu'est une fonction surjective ?

Posté par infophile infophile

Va réviser toi

Posté par Petiois Petiois

Oui je sais ce qu'un une fonction surjective, c'est quand la fonction possède au moins un antécedent da

Posté par gui_tou gui_tou

Ca m'embête quand les gens ne finissent pas leur

Posté par Petiois Petiois

Désolé,

Surjective c'est quand la fonction possède au moins un antécédent dans l'ensemble de départ.

Posté par infophile infophile

Euh pas tout à fait, c'est si pour tout élément de l'ensemble d'arrivée on peut trouver au moins un antécédent par f.

Posté par lafol lafol

Bonjour
guitou, si a=0 et b non nul, son application devient surjective

Posté par gui_tou gui_tou

C'est pas très rigoureux.

f est surjective si tout élément de son ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent par f dans l'ensemble de départ.

Posté par gui_tou gui_tou

Salut lafol

Effectivement, je n'y avais pas pensé. Je vais suivre les conseils de kévin et réviser

Posté par Petiois Petiois

Ok, en ce qui concerne l'injectivité si on prend : f: IR-->IR  est-elle injective ?
                                                       x-->x²
Logiquement oui car : f(x)=f(y)=> x²=y² => x=y
Or en regardant le graphe c'est faux pourquoi ?

Posté par gui_tou gui_tou

parce que x²=y² n'implique pas x=y

regarde pour x=3 et y=-3

Posté par lafol lafol

x²=y² <==> x²-y² = 0 <==> (x-y)(x+y)=0 <==> x=y ou x=-y

Posté par lafol lafol

rassure moi, tu n'es pas arrivé en école d'ingé sans passer par 3° et seconde ?
Ce n'est pas parce que tu apprends des trucs compliqués qu'il faut oublier les choses toutes simples

Posté par Petiois Petiois

Ah oué exact merci, donc x-->x² est surjective car:
y=f(x) => y=x² => racine(y)=x
C'est ca ?

et si je veux démontrer que f: IR-->IR²     est injective ça donne quoi ? Car je sais qu'il faut faire f(x)=f(y= mais je ne vois pas.
                                X-->(X²,eX)

Merci

Posté par lafol lafol

et si y négatif ?

Posté par Petiois Petiois

Ah oué exact merci, donc x-->x² est surjective car:
y=f(x) => y=x² => racine(y)=x
C'est ca ?

et si je veux démontrer que f: IR-->IR²     est injective ça donne quoi ? Car je sais qu'il faut faire f(x)=f(y= mais je ne vois pas.
                                X-->(X²,eX)

Merci

Posté par lafol lafol

pour ton dernier exemple, en appliquant la fonction ln à la deuxième équation

Posté par Petiois Petiois

Ok merci je vois

Posté par lafol lafol

La fonction carré n'est pas surjective parce que les négatifs ne sont pas des carrés

Posté par Petiois Petiois

Merci j'ai bien compris pour l'injectivité, mais en revanche la surjectivité je ne vois pas comment la démontrer, pouvez-vous me montrer avec un example suffisaùent dur.

Merci

Posté par gui_tou gui_tou

Soit f la fonction définie par .

¤

¤

¤ f continue sur

donc et f surjective.

¤ f dérivable sur et

f est strictement croissante, donc f injective

Conlusion : f réalise une bijection de dans

Posté par Petiois Petiois

Ok merci, je n'avais pas pensé à étudier les limites.
Mais si on pose comme question :
f: IR-->IR                        trouver a,b,c pour que f soit surjective comment faire?
    x-->ax^3+bx^2+cx+d

Merci

Posté par gui_tou gui_tou

Pour la surjectivité, il faut que donc que f ait deux limites infinies (en +ou- infini) différentes.

Ici, je dirais : f surjective


Sauf erreur.

Posté par lafol lafol

Bonjour
si on ne te demande que "trouver a,b,c" tu peux te contenter d'un exemple (genre a =1, b=c=0)
si on te demande "trouver tous les (a,b,c) "fais comme gui-tou te dit
salut guitou

Posté par gui_tou gui_tou

Salut lafol