Forum : translations - homothéties :
Transformation et recherche d'un lieu géometrique

Bonjour j'ai un devoir pour lundi que j'ai du mal à finir.

Enoncé :

Dans le plan on donne quatre points D, A, B, C et un cercle () de centre O.
Le point M est un point quelconque variable sur le cercle (). On associe au point M l'unique point M' du plan P défini par l'égalité : .
Il s'agit de déterminer le lieu géometrique L du point M' lorsque le lieu géometrique du point M est le cercle ().

1.a A l'aide d'un logiciel de géometrie plane constuire les points O, A, B, C, le cercle () et un point libre M sur ce cercle.

1.b Construire le point M' associé à M.

1.c En observant plusieurs positions du point M faire une conjecture sur la nature de la transformation du plan qui transforme M en M' ainsi que la nature du lieu géometrique du point M'.

2.a Déterminer par le calcul la nature de la transformation du plan qui transforme le point M en le point M'.

2.b Déterminer le lieu géométrique de L du point M'.

Production demandée :
- La figure réalisée avec le logiciel de géometrie dynamique.
- Le calcul permettant d'obtenir la nature de la transformation.
- La caractérisation du lieu géometrique de M' et sa justification.

Mes réponses :

1.a et 1.b

Sur la représentation ci-dessous que j'ai faite avec géogebra, les point D, E, F, H et I sont des points de constuction.



1.c Conjecture sur la nature de la transformation : euh... une homothétie ?
Faut-il que je justifie pourquoi je pense que c'est une homothétie.

2.a Déterminons par le calcul la nature de la transformation du plan qui transforme le point M en le point M' :

Soit I un point fixe sur le cercle ()
Alors :

Donc I bar (A;1), (B;1), (C;1)
Donc le point I est le point fixe de l'homothétie.
.

Or on a dit plus haut :
donc :


La transformation est donc une homothétie de rapport k=-3.

Ps : j'étais bloqué avant l'étape où on dit que et c'est une amie qui m'a dit qu'il fallait dire que . Or je ne vois pas bien pourquoi.

2.b C'est la question que j'ai du mal à faire.

Est-ce que ce que j'ai fait est juste ?
Pourquoi ?
Comment faire la 2.b ?
Pouvez-vous me dire si la rédaction est bonne ou s'il faut changer des choses ?
Merci d'avance !

Edit Coll : image placée sur le serveur de l' Merci d'en faire autant la prochaine fois !     

Bonjour
car tu cherches un point fixe, invariant, autrement dit tel que I' soit au même endroit que I

ensuite, tu as I barycentre de (A,1), (B,1), (C,2), donc pour tout M du plan, : si tu l'utilises dans la définition de M', un petit coup de Chasles te donne ton homothétie.

pour la dernière question, quelle est l'image d'un cercle par une homothétie ?

Merci.
L'image d'un cercle par une homothétie est un autre cercle. On le voit sur ma figure. Mais je n'ai pas son centre...

La transformation est donc une homothétie de rapport k=-3.
C'est faux ?

cherche dans ton livre : le centre ne serait pas l'image du centre, par hasard ? et le rayon multiplié par |-3| ?

ah ok merci ! Pour ma réponse à la 2.b suffit-il donc de répondre ça ? :

Soit O' l'image du centre O du cercle ().
Alors le lieu géometrique L du point M' est le cercle de centre O' et de rayon [O'M'] = |-3| * [OM].

C'est tout ?