Transformation et recherche d'un lieu géometrique

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Transformation et recherche d'un lieu géometrique

Posté le 17-05-08 à 16:29

Posté par Lukos06

Bonjour j'ai un devoir pour lundi que j'ai du mal à finir.

Enoncé :

Dans le plan on donne quatre points D, A, B, C et un cercle (

) de centre O.
Le point M est un point quelconque variable sur le cercle (

). On associe au point M l'unique point M' du plan P défini par l'égalité : $\vec{MM'} = \vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC}$ .
Il s'agit de déterminer le lieu géometrique L du point M' lorsque le lieu géometrique du point M est le cercle (

).

1.a A l'aide d'un logiciel de géometrie plane constuire les points O, A, B, C, le cercle (

) et un point libre M sur ce cercle.

1.b Construire le point M' associé à M.

1.c En observant plusieurs positions du point M faire une conjecture sur la nature de la transformation du plan qui transforme M en M' ainsi que la nature du lieu géometrique du point M'.

2.a Déterminer par le calcul la nature de la transformation du plan qui transforme le point M en le point M'.

2.b Déterminer le lieu géométrique de L du point M'.

Production demandée :
- La figure réalisée avec le logiciel de géometrie dynamique.
- Le calcul permettant d'obtenir la nature de la transformation.
- La caractérisation du lieu géometrique de M' et sa justification.

Mes réponses :

1.a et 1.b

Sur la représentation ci-dessous que j'ai faite avec géogebra, les point D, E, F, H et I sont des points de constuction.

1.c Conjecture sur la nature de la transformation : euh... une homothétie ?
Faut-il que je justifie pourquoi je pense que c'est une homothétie.

2.a Déterminons par le calcul la nature de la transformation du plan qui transforme le point M en le point M' :

Soit I un point fixe sur le cercle (

)
Alors :
$\vec{II'} = \vec{IA}+\vec{IB}+2\vec{IC} \\ \vec{0} = \vec{IA}+\vec{IB}+2\vec{IC}$
Donc I bar (A;1), (B;1), (C;1)
Donc le point I est le point fixe de l'homothétie.
$\vec{MM'} = \vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC} \\ \vec{MI}+\vec{IM'} = \vec{MI} + \vec{IA} + \vec{MI}+\vec{IB}+2\vec{MI}+2\vec{IC}$ .
$\vec{IM'}=\vec{IA}+\vec{IB}+ 2\vec{IC} + 3\vec{MI}$
Or on a dit plus haut : $\vec{IA}+\vec{IB}+ 2\vec{IC} = \vec{0}$
donc :
$\vec{IM'}=-3\vec{IM}$

La transformation est donc une homothétie de rapport k=-3.

Ps : j'étais bloqué avant l'étape où on dit que $\vec{II'}=\vec{0}$ et c'est une amie qui m'a dit qu'il fallait dire que $\vec{II'}=\vec{0}$ . Or je ne vois pas bien pourquoi.

2.b C'est la question que j'ai du mal à faire.

Est-ce que ce que j'ai fait est juste ?
Pourquoi $\vec{II'}=\vec{0}$ ?
Comment faire la 2.b ?
Pouvez-vous me dire si la rédaction est bonne ou s'il faut changer des choses ?
Merci d'avance !