Application du produit scalaire

Posté par colombes colombes

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice,merci de m'aider:
ABC triangle rectangle en A tel que AB=4 et AC=3. Soit I le milieu de [AB] et J celui de [IC]. Soit l'ensemble des points M du plan tels que MA²+MB²+2MC²=66. On se propose de déterminer .
1ere méthode:
1)Montrer que B
2)En utilisant 2 fois le théorème de la médiane, démontrer que M 4MJ²+AB²/2+IC²=66
3)En déduire la nature de
2eme méthode:
On utilise un repère orthonormé [A;1/4AB(vecteur);1/3AC(vecteur)]
1)Déterminer une équation de dans ce repère
2)Retrouver les résultats de la première méthode.
Merci
Colombes

Posté par douceliane douceliane

Bonjour,

Tu n'arrives absolument à rien faire ou il y a-t-il des endroits où tu as une idée de comment faire ou...

Posté par colombes colombes

Bonjour,
Non je n'y arrive nul part,désolé de ne pas l'avoir précisé plus tôt :/

Posté par douceliane douceliane

Alors pour commencer on a l'ensemble des points M du plan tels que MA²+MB²+2MC²=66.
Donc si B alors dans l'égalité on peut remplacer M par B. Jusque là tu me suis? Je te laisse essayer.

Ensuite connais-tu le théorème des médianes?

Posté par colombes colombes

Bonjour,
En remplaçant B dans l'égalité, j'obtiens:
BA²+BB²+2BC²=66
BA²+2BC²=66
C'est bon jusque la?
Le théorème des médianes:
I mileu de BC:
AC²+AB²=2AI²+(BC²/2)
C'est bien cela ??

Posté par douceliane douceliane

Oui tout est bon maintenant, il faut PROUVER que B donc il faut calculer BA²+2BC² et si tu trouves 66 c'est que B.

Ensuite le théorème des médianes s'appliquent avec des milieux. Quels sont les milieux que tu peux utiliser?

Posté par colombes colombes

Bonjour,
En calculant BC avec Pythagore:
BC²=AC²+AB²
BC²=9+16
BC=5

De plus, BA=4 -->BA²+2BC²=16+50=66-->
Donc B
Je peux utiliser I mileu de [AB] non?
Colombes

Posté par douceliane douceliane

Oui tu peux en partant de l'égalité MA²+MB²+2MC²=66

Posté par colombes colombes

Bonjour,
Je dois décomposer MA² en (MB+BA)²
                   MB² en (MA+AB)²
                 2MC² en 2(MA+AC)² ??
Que dois-je utiliser comme formule stp ?
Merci
Colombes

Posté par colombes colombes

Bonjour,
Up douceliane ou autre svp

Posté par douceliane douceliane

La formule que tu connais est pour I milieu de [BC]:
AC²+AB²=2AI²+(BC²/2) avec A un point quelconque. Dans MA²+MB²+2MC²=66 tu as I milieu de [AB] et M le point quelquonque donc la formule devient MA²+MB²=2MI²+(AB²/2)

Donc remplace MA²+MB² dans l'égalité

Posté par colombes colombes

Je remplace MA²+MB² en BA²+BB² c'est ca?

Posté par douceliane douceliane

Euh non la formule que tu m'as donné AC²+AB²=2AI²+(BC²/2) est faite pour I milieu de [BC] or ici I est milieu de [AB] donc il faut que tu remplaces B par A et C par B. Or de cette façon tu obtiens AB²+AA²=2AI²+(AB²/2) mais dans ta formule A représenté un point quelconque du plan (il n'y avait aucune condition sur A) et ici le point correspondant est M donc dans AC²+AB²=2AI²+(BC²/2) il faut que tu remplaces les A par des M, les B par des A et les C par des B...

Posté par colombes colombes

Ok, merci beaucoup
Donc cela donne ceci non?
MB²+MA²=2MI²+(AB²/2)
Et je fis quoi ensuite?
Tu peux résumer toutes les étapes de l'exercice s'il te plait, je m'y perds

Posté par douceliane douceliane

là on est toujours dans la question deux. Maintenant que tu connais la valeur de MB²+MA², (2MI²+(AB²/2)) tu va remplacer MB²+MA² dans l'égalité MA²+MB²+2MC²=66

Posté par colombes colombes

Ok,
Ca donne cela?
2MI²+(AB²/2)+2MC²=66
C'est bien ca?
Seulement, il n'y a pas de J(milieu de IC):Je dois décomposer le MC² en (MJ+JC)² ?
MERCI
Colombes

Posté par douceliane douceliane

Regarde ce que tu as obtenu: 2MI²+(AB²/2)+2MC²=66 dans ce qu'on te demande te trouver il y a le (AB²/2) mais ni de 2MI² ni de MC² donc c'est eux qu'il faut changer. Essaye de factoriser 2MI²+2MC²

Posté par colombes colombes

Ok merci,
Donc ca donne ca: 4MJ²+(AB²/2)=66 mais je n'ai pas de IC

Posté par douceliane douceliane

2MI²+2MC²=4MJ²?? si je met le 2 en facteur j'obtiens 2(MI²+MC²) sachant que J est le milieu de [IC] je sais que MI²+MC²=2MJ²+(IC²/2) (théorème des médianes appliqués pour J milieu de [IC])

Puis tu remplace MI²+MC² par sa valeur d'où 2MI²+(AB²/2)+2MC²=66<=>2(MI²+MC²)+(AB²/2)=66<=>2[2MJ²+(IC²/2)]+(AB²/2)=66

On dévelloppe: 4MJ²+2IC²/2+AB²/2=66
Ce qui nous donne bien 4MJ²+IC²+AB²/2=66

As-tu tout suivi?

Posté par colombes colombes

C'est bon, cette fois j'ai bien tout compris :p
Merci beaucoup douceliane pour ton aide ^^'
Donc ici correspondrait à quoi comme ensemble ??
Je ne te demande pas de m'aider pour la 2eme méthode, je t'ai trop dérangé(e) et je vais eesayer de me débrouiller seul :p
Merci
Colombes

Posté par douceliane douceliane

bah cherche à te débarasser du maximum de chose (tu connais la valeur de AB tu peux connaitre IC donc essaye de réduire ton égalité)

A la fin tu va tomber sur un truc du style MJ=xx (un nombre) donc ça veut dire que la distance séparant M et J est constante donc M va se déplaser autour de J à la même distance. Ne vois tu toujours pas à quoi ça correspond?

Posté par colombes colombes

Un cercle de diamètre xx ? xD

Posté par colombes colombes

Je réduis l'égalité finale pour trouver IC ? Tu peux m'indiquer une piste pour faire ca stp ?
MERCI
Colombes

Posté par douceliane douceliane

Es-tu sûr que xx correspond au diamètre? c'est la distance de J à M sachant que M tourne autour de J...

Posté par colombes colombes

Le rayon pardon^^' ce post devient vraiment long ca m'embvrouille :p
Tu as une piste à me donner pour trouver l'ensemble ?

Posté par douceliane douceliane

Pour la deuxième partie? Si oui je t'aurais dit qu'à partir du moment où tu as un repère tu as des longueurs et comme est l'ensemble des M alors si M à pour coordonnée (x;y) alors aura une équation avec x et y...

Posté par colombes colombes

Quand je suis à 4MJ²+IC²+(AB²/2), comment je
Merci
Colombes

Posté par douceliane douceliane

Tu m'as dit que AB=4 non? donc déjà ça tu peux le remplacer puis IC, I c'est le milieu de AB et ABC est un triangle rectangle en A... Fais le dessin et je pense que tu comprendras ce que je veux dire^^

Posté par colombes colombes

Je pense que je vais faire un dessin :p

Posté par colombes colombes

Donc voila ce que j'ai: 4MJ²+IC²+(AB²/2)+66->4MJ²+IC²+8=66->
IC²=IA²+AC²
IC²=2²+3²
IC=R13 où R=Racine
Donc 4MJ²=54-R13
MJ=R(54-R13)/4 (le tout à la racine)
MJ=3.55 environ
Donc l'ensemble des points M est un cercle de rayon 3.55
Merci
Colombes

Posté par colombes colombes

Cercle de centre J et de rayon 3.55 ^^' oublié de préciser

Posté par douceliane douceliane

Juste 66-8... il me semble que ça fait 58 et pas 54 ^^ puis 4MI²=58-IC² or IC=13 donc IC²=13 pas 13...
sinon c'est juste (pour le raisonnement)

Posté par colombes colombes

Pardon,
C'est 4MJ²=58
Donc MJ²=14.5
MJ=
Colombes

Posté par colombes colombes

O_o tu as répondu avant moi^^
Je voulais rectifier avant que tu ne voies ^^

Posté par douceliane douceliane

58-13... tu as zappé le IC² XD

Posté par colombes colombes

MJ=R14.5 si tu ne voies pas l'image
Colombes

Posté par douceliane douceliane

C'est pas grave^^ c'est juste une éreur de calcul (je suis une pro pour ça )

Posté par colombes colombes

IC²=IA²+IC² non ?
Donc IC²=2²+3²=13
Donc IC=R13
Donc 4MJ²=58-R13   MJ²=(58-R13)/4
MJ=R(58-R13/4)

Posté par colombes colombes

Merci beaucoup et a+

Posté par douceliane douceliane

Mais c'est 4MJ²=58-IC² donc 4MJ²=58-R13²
donc au final MJ=(3/2)*R5

A++ et de rien^^

Posté par colombes colombes

4MJ²=58-13=45
MJ=R(45/4)
Merci
Colombes

Posté par essienm essienm

Bonjour à tous. J'ai eu le même exercice et je n'arrive pas à résoudre grâce à la 2ème méthode.
Si vous pouviez m'aider, ce serait sympa. Merci d'avance.