Forum : produit scalaire :
Application du produit scalaire

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice,merci de m'aider:
ABC triangle rectangle en A tel que AB=4 et AC=3. Soit I le milieu de [AB] et J celui de [IC]. Soit l'ensemble des points M du plan tels que MA²+MB²+2MC²=66. On se propose de déterminer .
1ere méthode:
1)Montrer que B
2)En utilisant 2 fois le théorème de la médiane, démontrer que M 4MJ²+AB²/2+IC²=66
3)En déduire la nature de
2eme méthode:
On utilise un repère orthonormé [A;1/4AB(vecteur);1/3AC(vecteur)]
1)Déterminer une équation de dans ce repère
2)Retrouver les résultats de la première méthode.
Merci
Colombes

Bonjour,

Tu n'arrives absolument à rien faire ou il y a-t-il des endroits où tu as une idée de comment faire ou...

Bonjour,
Non je n'y arrive nul part,désolé de ne pas l'avoir précisé plus tôt :/

Alors pour commencer on a l'ensemble des points M du plan tels que MA²+MB²+2MC²=66.
Donc si B alors dans l'égalité on peut remplacer M par B. Jusque là tu me suis? Je te laisse essayer.

Ensuite connais-tu le théorème des médianes?

Bonjour,
En remplaçant B dans l'égalité, j'obtiens:
BA²+BB²+2BC²=66
BA²+2BC²=66
C'est bon jusque la?
Le théorème des médianes:
I mileu de BC:
AC²+AB²=2AI²+(BC²/2)
C'est bien cela ??

Oui tout est bon maintenant, il faut PROUVER que B donc il faut calculer BA²+2BC² et si tu trouves 66 c'est que B.

Ensuite le théorème des médianes s'appliquent avec des milieux. Quels sont les milieux que tu peux utiliser?

Bonjour,
En calculant BC avec Pythagore:
BC²=AC²+AB²
BC²=9+16
BC=5

De plus, BA=4 -->BA²+2BC²=16+50=66-->
Donc B
Je peux utiliser I mileu de [AB] non?
Colombes

Oui tu peux en partant de l'égalité MA²+MB²+2MC²=66

Bonjour,
Je dois décomposer MA² en (MB+BA)²
                   MB² en (MA+AB)²
                 2MC² en 2(MA+AC)² ??
Que dois-je utiliser comme formule stp ?
Merci
Colombes

Bonjour,
Up douceliane ou autre svp

La formule que tu connais est pour I milieu de [BC]:
AC²+AB²=2AI²+(BC²/2) avec A un point quelconque. Dans MA²+MB²+2MC²=66 tu as I milieu de [AB] et M le point quelquonque donc la formule devient MA²+MB²=2MI²+(AB²/2)

Donc remplace MA²+MB² dans l'égalité

Je remplace MA²+MB² en BA²+BB² c'est ca?

Euh non la formule que tu m'as donné AC²+AB²=2AI²+(BC²/2) est faite pour I milieu de [BC] or ici I est milieu de [AB] donc il faut que tu remplaces B par A et C par B. Or de cette façon tu obtiens AB²+AA²=2AI²+(AB²/2) mais dans ta formule A représenté un point quelconque du plan (il n'y avait aucune condition sur A) et ici le point correspondant est M donc dans AC²+AB²=2AI²+(BC²/2) il faut que tu remplaces les A par des M, les B par des A et les C par des B...

Ok, merci beaucoup
Donc cela donne ceci non?
MB²+MA²=2MI²+(AB²/2)
Et je fis quoi ensuite?
Tu peux résumer toutes les étapes de l'exercice s'il te plait, je m'y perds

là on est toujours dans la question deux. Maintenant que tu connais la valeur de MB²+MA², (2MI²+(AB²/2)) tu va remplacer MB²+MA² dans l'égalité MA²+MB²+2MC²=66

Ok,
Ca donne cela?
2MI²+(AB²/2)+2MC²=66
C'est bien ca?
Seulement, il n'y a pas de J(milieu de IC):Je dois décomposer le MC² en (MJ+JC)² ?
MERCI
Colombes

Regarde ce que tu as obtenu: 2MI²+(AB²/2)+2MC²=66 dans ce qu'on te demande te trouver il y a le (AB²/2) mais ni de 2MI² ni de MC² donc c'est eux qu'il faut changer. Essaye de factoriser 2MI²+2MC²

Ok merci,
Donc ca donne ca: 4MJ²+(AB²/2)=66 mais je n'ai pas de IC

2MI²+2MC²=4MJ²?? si je met le 2 en facteur j'obtiens 2(MI²+MC²) sachant que J est le milieu de [IC] je sais que MI²+MC²=2MJ²+(IC²/2) (théorème des médianes appliqués pour J milieu de [IC])

Puis tu remplace MI²+MC² par sa valeur d'où 2MI²+(AB²/2)+2MC²=66<=>2(MI²+MC²)+(AB²/2)=66<=>2[2MJ²+(IC²/2)]+(AB²/2)=66

On dévelloppe: 4MJ²+2IC²/2+AB²/2=66
Ce qui nous donne bien 4MJ²+IC²+AB²/2=66

As-tu tout suivi?

C'est bon, cette fois j'ai bien tout compris :p
Merci beaucoup douceliane pour ton aide ^^'
Donc ici correspondrait à quoi comme ensemble ??
Je ne te demande pas de m'aider pour la 2eme méthode, je t'ai trop dérangé(e) et je vais eesayer de me débrouiller seul :p
Merci
Colombes

bah cherche à te débarasser du maximum de chose (tu connais la valeur de AB tu peux connaitre IC donc essaye de réduire ton égalité)

A la fin tu va tomber sur un truc du style MJ=xx (un nombre) donc ça veut dire que la distance séparant M et J est constante donc M va se déplaser autour de J à la même distance. Ne vois tu toujours pas à quoi ça correspond?

Un cercle de diamètre xx ? xD

Je réduis l'égalité finale pour trouver IC ? Tu peux m'indiquer une piste pour faire ca stp ?
MERCI
Colombes

Es-tu sûr que xx correspond au diamètre? c'est la distance de J à M sachant que M tourne autour de J...

Le rayon pardon^^' ce post devient vraiment long ca m'embvrouille :p
Tu as une piste à me donner pour trouver l'ensemble ?

Pour la deuxième partie? Si oui je t'aurais dit qu'à partir du moment où tu as un repère tu as des longueurs et comme est l'ensemble des M alors si M à pour coordonnée (x;y) alors aura une équation avec x et y...

Quand je suis à 4MJ²+IC²+(AB²/2), comment je

citation :
bah cherche à te débarasser du maximum de chose (tu connais la valeur de AB tu peux connaitre IC donc essaye de réduire ton égalité)

Merci
Colombes

Tu m'as dit que AB=4 non? donc déjà ça tu peux le remplacer puis IC, I c'est le milieu de AB et ABC est un triangle rectangle en A... Fais le dessin et je pense que tu comprendras ce que je veux dire^^

Je pense que je vais faire un dessin :p

Donc voila ce que j'ai: 4MJ²+IC²+(AB²/2)+66->4MJ²+IC²+8=66->
IC²=IA²+AC²
IC²=2²+3²
IC=R13 où R=Racine
Donc 4MJ²=54-R13
MJ=R(54-R13)/4 (le tout à la racine)
MJ=3.55 environ
Donc l'ensemble des points M est un cercle de rayon 3.55
Merci
Colombes

Cercle de centre J et de rayon 3.55 ^^' oublié de préciser

Juste 66-8... il me semble que ça fait 58 et pas 54 ^^ puis 4MI²=58-IC² or IC=13 donc IC²=13 pas 13...
sinon c'est juste (pour le raisonnement)

Pardon,
C'est 4MJ²=58
Donc MJ²=14.5
MJ=
Colombes

O_o tu as répondu avant moi^^
Je voulais rectifier avant que tu ne voies ^^

58-13... tu as zappé le IC² XD

MJ=R14.5 si tu ne voies pas l'image
Colombes

C'est pas grave^^ c'est juste une éreur de calcul (je suis une pro pour ça )

IC²=IA²+IC² non ?
Donc IC²=2²+3²=13
Donc IC=R13
Donc 4MJ²=58-R13   MJ²=(58-R13)/4
MJ=R(58-R13/4)

Merci beaucoup et a+

Mais c'est 4MJ²=58-IC² donc 4MJ²=58-R13²
donc au final MJ=(3/2)*R5

A++ et de rien^^

4MJ²=58-13=45
MJ=R(45/4)
Merci
Colombes