Déterminant d'une matrice de rang n
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Déterminant d'une matrice de rang n
Posté le 17-05-08 à 21:54
Posté par 
Skops Skops
Bonjour,
On a=\bigsum_{\sigma\in S_n}\epsilon(\sigma)_{\alpha_1,\sigma_1}... _{\alpha_n,\sigma_n})
Est ce que vous pourriez m'expliquer la formule s'il vous plait ?
Skops
Skops SkopsBonjour,
On a
Est ce que vous pourriez m'expliquer la formule s'il vous plait ?
Skops
re : Déterminant d'une matrice de rang n Posté le 17-05-08 à 23:01
Posté le 17-05-08 à 23:01Posté par monrow monrow 
Salut !
D'abord c'est:=\bigsum_{\sigma\in%20S_n}\epsilon(\sigma)a_{1,\sigma(1)}...a_{n,\sigma(n)}=\bigsum_{\sigma\in%20S_n}\epsilon(\sigma)\Bigprod_{k=1}^na_{\sigma(k),k})
Bonne question ! mais c'est très dur à expliquer, et puis t'es pas sensé savoir le démontrer !
D'abord, qu'est ce le déterminant? C'est la seule forme n-linéaire qui donne 1 comme image pour la base.
On définit une application multilinéaire:\to\bigsum_{\sigma\in%20S_n}\epsilon(\sigma)\Bigprod_{k=1}^na_{\sigma(k),k} \\ )
Considérons une forme n-linéaire alternée f.
soit de plus n éléments)
de coordonnés chacun dans B )
On a:=f(\Bigsum_{j_1=1}^na_{j_11}e_j,\Bigsum_{j_2=1}^na_{j_22}e_j,...,\Bigsum_{j_n=1}^na_{j_nn}e_n))
On utilise la n-linéarité de f :![f(x_1,x_2,...,x_n)=\Bigsum_{(j_1,j_2,...,j_n)\in|[1,n]|^n}a_{j_11}a_{j_22}e_j,...,a_{j_nn}f(e_1,...,e_n)](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?f(x_1,x_2,...,x_n)=\Bigsum_{(j_1,j_2,...,j_n)\in|[1,n]|^n}a_{j_11}a_{j_22}e_j,...,a_{j_nn}f(e_1,...,e_n))
On sait bien que si une famille)
est liée alors la forme n-linéaire est nulle !
Alors on doit éliminer tous les termes nuls dans cette somme, on doit laisser juste les couples![3$(j_1,...,j_n)\in|[1,n]|^n](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$(j_1,...,j_n)\in|[1,n]|^n)
dont les éléments sont distincts, et donc considérer juste les permutations de 
.
Ainsi:![f(x_1,x_2,...,x_n)=\Bigsum_{(j_1,j_2,...,j_n)\in|[1,n]|^n}a_{j_11}a_{j_22}e_j,...,a_{j_nn}f(e_1,...,e_n)=\Bigsum_{\sigma\in S_n}a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}e_j,...,a_{\sigma(n)n}f(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)})](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?f(x_1,x_2,...,x_n)=\Bigsum_{(j_1,j_2,...,j_n)\in|[1,n]|^n}a_{j_11}a_{j_22}e_j,...,a_{j_nn}f(e_1,...,e_n)=\Bigsum_{\sigma\in S_n}a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}e_j,...,a_{\sigma(n)n}f(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)}))
Or, f multilinéaire alternée =>},...,e_{\sigma(n)})=\epsilon(\sigma)f(e_1,...,e_n))
donc:==\Bigsum_{\sigma\in S_n}a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}e_j,...,a_{\sigma(n)n}\epsilon(\sigma)f(e_1,...,e_n))
d'où :==f(B)\Bigsum_{\sigma\in S_n}\epsilon(\sigma)a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}e_j,...,a_{\sigma(n)n}=f(B)g(x_1,...,x_n))
Ainsi=1})
Ainsi l'application g est le déterminant lui même !
=\bigsum_{\sigma\in%20S_n}\epsilon(\sigma)a_{1,\sigma(1)}...a_{n,\sigma(n)}=\bigsum_{\sigma\in%20S_n}\epsilon(\sigma)\Bigprod_{k=1}^na_{\sigma(k),k})
Voili voilou !
monrow monrow Salut !
D'abord c'est:
Bonne question ! mais c'est très dur à expliquer, et puis t'es pas sensé savoir le démontrer !
D'abord, qu'est ce le déterminant? C'est la seule forme n-linéaire qui donne 1 comme image pour la base.
On définit une application multilinéaire:
Considérons une forme n-linéaire alternée f.
soit de plus n éléments
On a:
On utilise la n-linéarité de f :
On sait bien que si une famille
Alors on doit éliminer tous les termes nuls dans cette somme, on doit laisser juste les couples
Ainsi:
Or, f multilinéaire alternée =>
donc:
d'où :
Ainsi
Ainsi l'application g est le déterminant lui même !
Voili voilou !
re : Déterminant d'une matrice de rang n Posté le 17-05-08 à 23:09
Posté le 17-05-08 à 23:09Posté par otto otto
C'est la seule forme n-linéaire qui donne 1 comme image pour la base
Sans autre condition il en existe plus qu'une ...
Il faut aussi demander qu'elle soit alternée, d'ailleurs c'est surtout ça qui nous intéresse ...
otto ottoC'est la seule forme n-linéaire qui donne 1 comme image pour la base
Sans autre condition il en existe plus qu'une ...
Il faut aussi demander qu'elle soit alternée, d'ailleurs c'est surtout ça qui nous intéresse ...
re : Déterminant d'une matrice de rang n Posté le 17-05-08 à 23:12
Posté le 17-05-08 à 23:12Posté par monrow monrow
Salut !
tout à fait ! juste un petit oubli !
C'est la seule forme n-linéaire alternée qui donne 1 comme image pour la base
monrow monrow Salut !
tout à fait ! juste un petit oubli !
C'est la seule forme n-linéaire alternée qui donne 1 comme image pour la base
re : Déterminant d'une matrice de rang n Posté le 17-05-08 à 23:14
Posté le 17-05-08 à 23:14Posté par Skops Skops
Bon, à 23h, ca va pas le faire
Questions :
- Qu'est ce que Sn ?
- Qu'est ce que)
?
- Une forme alternée ?
Skops
Skops SkopsBon, à 23h, ca va pas le faire
Questions :
- Qu'est ce que Sn ?
- Qu'est ce que
- Une forme alternée ?
Skops
re : Déterminant d'une matrice de rang n Posté le 17-05-08 à 23:17
Posté le 17-05-08 à 23:17Posté par monrow monrow
ah ! je pensais que tu savais ça ! alors là, y a tout un chapitre:
Groupe symétrique
: 
Permutation
:
Forme n-linéaire
Forme n-linéaire alternée
monrow monrow ah ! je pensais que tu savais ça ! alors là, y a tout un chapitre:
Groupe symétrique
Permutation
Forme n-linéaire
Forme n-linéaire alternée
re : Déterminant d'une matrice de rang n Posté le 17-05-08 à 23:22
Posté le 17-05-08 à 23:22Posté par monrow monrow
bof, si t'es curieux, alors ça te fera du bien ! (c'est le sujet d'X 2009 PC 
)
monrow monrow bof, si t'es curieux, alors ça te fera du bien !
(c'est le sujet d'X 2009 PC )
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