Algorithme de Babone
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Algorithme de Babone
Posté le 18-05-08 à 01:15
Posté par 
Mariano Mariano
Bonsoir à tous, j'ai vraiment besoin d'aide avec ce DM je ne réussit même pas la première question...
Merci en avance:
1)On considère la fonction f définie sur]0 ; +infini [par f(x)= (1/2) (x+(2/x))
a) étudier le sens de variation de f.
b) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et montrer que la courbe représentative Cf de f admet une asymptote oblique ∆.
c) Représenter graphiquement Cf et ∆. Préciser les coordonnées du point d'intersection de Cf et de ∆.
2) On définit une suite (un) par : U0 =1 et Un+1=f(Un)
a) Représenter graphiquement les premiers termes de la suite (un) sur le dessin de la question 1)c)
b) Conjecturer alors le comportement de (Un) : sens de variation et limite.
3)a) Calculer U1, U2, U3 et U4 sous forme fractionnaire
b) Vérifier, à l'aide de la calculatrice, les inégalités suivantes U0<2<u4<u3<u2<u1
4) Le but de cette question esr de délimiter la limite de la suite (un)
a) Montrer que pour tout x>0 f(x) - √2 = ((x-√2)²)/ (2x))
b) En admettant que tous les termes de la suite (un) vérifient l'inégalité Un 1, en déduire que, pour tout entier n 1 : |Un - √2| (1/2) = (Un-1 - √2)²)
c) En déduire finalement que |u0 - √2| 1/(2^(1+2+2²+…-(2^n-1)) * ((u0 - √2)^(2n))
d) En remarquant que |u0 - √2| ½ en déduire que |u0 - √2| ((1/2)^(2^(n+1)-1))
e) Montrer que, pour tout entier n, 2^(n+1) n+1 (inégalité de Bernouilli)
En déduire la limite de ((1/2)^(2^(n-1)-1)), puis celle de (Un)
5) A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que 0,5^(2^(n+1) - 1) 10^(-100)
En déduire que U8 √2 à 10^(-100) près
Mariano MarianoBonsoir à tous, j'ai vraiment besoin d'aide avec ce DM je ne réussit même pas la première question...
Merci en avance:
1)On considère la fonction f définie sur]0 ; +infini [par f(x)= (1/2) (x+(2/x))
a) étudier le sens de variation de f.
b) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et montrer que la courbe représentative Cf de f admet une asymptote oblique ∆.
c) Représenter graphiquement Cf et ∆. Préciser les coordonnées du point d'intersection de Cf et de ∆.
2) On définit une suite (un) par : U0 =1 et Un+1=f(Un)
a) Représenter graphiquement les premiers termes de la suite (un) sur le dessin de la question 1)c)
b) Conjecturer alors le comportement de (Un) : sens de variation et limite.
3)a) Calculer U1, U2, U3 et U4 sous forme fractionnaire
b) Vérifier, à l'aide de la calculatrice, les inégalités suivantes U0<2<u4<u3<u2<u1
4) Le but de cette question esr de délimiter la limite de la suite (un)
a) Montrer que pour tout x>0 f(x) - √2 = ((x-√2)²)/ (2x))
b) En admettant que tous les termes de la suite (un) vérifient l'inégalité Un 1, en déduire que, pour tout entier n 1 : |Un - √2| (1/2) = (Un-1 - √2)²)
c) En déduire finalement que |u0 - √2| 1/(2^(1+2+2²+…-(2^n-1)) * ((u0 - √2)^(2n))
d) En remarquant que |u0 - √2| ½ en déduire que |u0 - √2| ((1/2)^(2^(n+1)-1))
e) Montrer que, pour tout entier n, 2^(n+1) n+1 (inégalité de Bernouilli)
En déduire la limite de ((1/2)^(2^(n-1)-1)), puis celle de (Un)
5) A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que 0,5^(2^(n+1) - 1) 10^(-100)
En déduire que U8 √2 à 10^(-100) près
re : Algorithme de Babone Posté le 18-05-08 à 08:50
Posté le 18-05-08 à 08:50Posté par Marcel Marcel
Bonjour,
f(x) = (1/2)[x+(2/x)]
Df = ]0;+∞[
1)
f est dérivable sur ]0;+∞[ comme somme de telles fonctions
f'(x) = (1/2)[1-(2/x²)] = (1/2)(x²-2)/x² = (x-√2)(x+√2)/(2x²) est du signe de x-√2 sur ]0;+∞[
Donc f' est strictement négative sur ]0;√2[, nulle en √2 et strictement positive sur ]√2;+∞[
Donc f est strictement décroissante sur ]0;√2] et strictement croissante sur [√2;+∞[
lim 0+ f = +∞
f(√2) = √2
lim +∞ f = +∞
f(x) - (1/2)x = (1/2)[x+(2/x)] - (1/2)x = (1/2)(2/x) = 1/x tend vers 0 quand x tend vers +∞
Donc la droite Δ d'équation y = (1/2)x est asymptote oblique à Cf au voisinage de +∞
f(x) - (1/2)x = 1/x ≠ 0 pour tout x
]0;+∞[
Donc Cf et Δ n'ont pas de point d'intersection
Marcel MarcelBonjour,
f(x) = (1/2)[x+(2/x)]
Df = ]0;+∞[
1)
f est dérivable sur ]0;+∞[ comme somme de telles fonctions
f'(x) = (1/2)[1-(2/x²)] = (1/2)(x²-2)/x² = (x-√2)(x+√2)/(2x²) est du signe de x-√2 sur ]0;+∞[
Donc f' est strictement négative sur ]0;√2[, nulle en √2 et strictement positive sur ]√2;+∞[
Donc f est strictement décroissante sur ]0;√2] et strictement croissante sur [√2;+∞[
lim 0+ f = +∞
f(√2) = √2
lim +∞ f = +∞
f(x) - (1/2)x = (1/2)[x+(2/x)] - (1/2)x = (1/2)(2/x) = 1/x tend vers 0 quand x tend vers +∞
Donc la droite Δ d'équation y = (1/2)x est asymptote oblique à Cf au voisinage de +∞
f(x) - (1/2)x = 1/x ≠ 0 pour tout x
]0;+∞[Donc Cf et Δ n'ont pas de point d'intersection
re : Algorithme de Babone Posté le 18-05-08 à 09:20
Posté le 18-05-08 à 09:20Posté par Marcel Marcel
3a)
U0 = 1
U1 = f(U0= f(1) = 3/2
U2 = f(U1= f(3/2) = 17/12
U3 = f(U2= f(17/12) = 577/408
U4 = f(U3= f(577/408) = ...
3b)
U0 = 1
U1 = 1,5000000
U2 ≈ 1,4166667
U3 ≈ 1,4142157
U4 ≈ 1,4142136
On a bien U0 = 1 < U4 < U3 < U2 < U1
Marcel Marcel3a)
U0 = 1
U1 = f(U0= f(1) = 3/2
U2 = f(U1= f(3/2) = 17/12
U3 = f(U2= f(17/12) = 577/408
U4 = f(U3= f(577/408) = ...
3b)
U0 = 1
U1 = 1,5000000
U2 ≈ 1,4166667
U3 ≈ 1,4142157
U4 ≈ 1,4142136
On a bien U0 = 1 < U4 < U3 < U2 < U1
re : Algorithme de Babone Posté le 18-05-08 à 09:48
Posté le 18-05-08 à 09:48Posté par Marcel Marcel
Pour la 3, je reprends :
3a)
U0 = 1
U1 = f(U0) = f(1) = 3/2
U2 = f(U1) = f(3/2) = 17/12
U3 = f(U2) = f(17/12) = 577/408
U4 = f(U3) = f(577/408) = 665857/470832
3b)
U0 = 1
U1 = 1,5000000000000000
U2 ≈ 1,4166666666666667
U3 ≈ 1,4142156862745098
U4 ≈ 1,4142135623746899
√2 ≈ 1,4142135623730950
On a bien U0 < √2 < U4 < U3 < U2 < U1
Marcel MarcelPour la 3, je reprends :
3a)
U0 = 1
U1 = f(U0) = f(1) = 3/2
U2 = f(U1) = f(3/2) = 17/12
U3 = f(U2) = f(17/12) = 577/408
U4 = f(U3) = f(577/408) = 665857/470832
3b)
U0 = 1
U1 = 1,5000000000000000
U2 ≈ 1,4166666666666667
U3 ≈ 1,4142156862745098
U4 ≈ 1,4142135623746899
√2 ≈ 1,4142135623730950
On a bien U0 < √2 < U4 < U3 < U2 < U1
re : Algorithme de Babone Posté le 18-05-08 à 10:11
Posté le 18-05-08 à 10:11Posté par Marcel Marcel
Pour le graphique (questions 1c et partiellement 2a), voir celui fait par philoux sur ce post
Marcel MarcelPour le graphique (questions 1c et partiellement 2a), voir celui fait par philoux sur ce post
re : Algorithme de Babone Posté le 18-05-08 à 10:43
Posté le 18-05-08 à 10:43Posté par Marcel Marcel
La rédaction de l'énoncé laisse à désirer ...
Corrigeons un peu :
Enoncé à confirmer ...
Marcel MarcelCitation :
4) Le but de cette question esr de délimiter la limite de la suite (un)
a) Montrer que pour tout x>0 f(x) - √2 = ((x-√2)²)/ (2x))
b) En admettant que tous les termes de la suite (un) vérifient l'inégalité Un 1, en déduire que, pour tout entier n 1 : |Un - √2| (1/2) = (Un-1 - √2)²)
c) En déduire finalement que |u0 - √2| 1/(2^(1+2+2²+…-(2^n-1)) * ((u0 - √2)^(2n))
d) En remarquant que |u0 - √2| ½ en déduire que |u0 - √2| ((1/2)^(2^(n+1)-1))
e) Montrer que, pour tout entier n, 2^(n+1) n+1 (inégalité de Bernouilli)
En déduire la limite de ((1/2)^(2^(n-1)-1)), puis celle de (Un)
5) A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que 0,5^(2^(n+1) - 1) 10^(-100)
En déduire que U8 √2 à 10^(-100) près
4) Le but de cette question esr de délimiter la limite de la suite (un)
a) Montrer que pour tout x>0 f(x) - √2 = ((x-√2)²)/ (2x))
b) En admettant que tous les termes de la suite (un) vérifient l'inégalité Un 1, en déduire que, pour tout entier n 1 : |Un - √2| (1/2) = (Un-1 - √2)²)
c) En déduire finalement que |u0 - √2| 1/(2^(1+2+2²+…-(2^n-1)) * ((u0 - √2)^(2n))
d) En remarquant que |u0 - √2| ½ en déduire que |u0 - √2| ((1/2)^(2^(n+1)-1))
e) Montrer que, pour tout entier n, 2^(n+1) n+1 (inégalité de Bernouilli)
En déduire la limite de ((1/2)^(2^(n-1)-1)), puis celle de (Un)
5) A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que 0,5^(2^(n+1) - 1) 10^(-100)
En déduire que U8 √2 à 10^(-100) près
La rédaction de l'énoncé laisse à désirer ...
Corrigeons un peu :
Citation :
4)
Le but de cette question est de déterminer la limite de la suite U
a)
Montrer que pour tout x > 0 : f(x)-√2 = (x-√2)²/(2x)
b)
En admettant que tous les termes de la suite U vérifient l'inégalité Un ≥ 1, en déduire que, pour tout entier n ≥ 1 : |Un-√2| ≤ (1/2)(Un-1-√2)²
c)
En déduire finalement que |Un-√2| ≤ [1/2^(1+2+2²+…+2n-1)].[(U0-√2)^(2n)]
d)
En remarquant que |U0-√2| ≤ 1/2, en déduire que |Un-√2| ≤ (1/2)^(2n+1-1)
e)
Montrer que, pour tout entier n, 2n+1 > n+1 (inégalité de Bernoulli)
En déduire la limite de (1/2)^(2n+1-1), puis celle de U
5)
A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que (1/2)^(2n+1-1) < 10-100
En déduire que U8 ≈ √2 à 10-100 près
4)
Le but de cette question est de déterminer la limite de la suite U
a)
Montrer que pour tout x > 0 : f(x)-√2 = (x-√2)²/(2x)
b)
En admettant que tous les termes de la suite U vérifient l'inégalité Un ≥ 1, en déduire que, pour tout entier n ≥ 1 : |Un-√2| ≤ (1/2)(Un-1-√2)²
c)
En déduire finalement que |Un-√2| ≤ [1/2^(1+2+2²+…+2n-1)].[(U0-√2)^(2n)]
d)
En remarquant que |U0-√2| ≤ 1/2, en déduire que |Un-√2| ≤ (1/2)^(2n+1-1)
e)
Montrer que, pour tout entier n, 2n+1 > n+1 (inégalité de Bernoulli)
En déduire la limite de (1/2)^(2n+1-1), puis celle de U
5)
A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que (1/2)^(2n+1-1) < 10-100
En déduire que U8 ≈ √2 à 10-100 près
Enoncé à confirmer ...
re : Algorithme de Babone Posté le 21-05-08 à 00:51
Posté le 21-05-08 à 00:51Posté par Mariano Mariano
Merci beaucoup Marcel de ton aide, je me suis aussi adressé à l'autre forum mais malheureusement je bloque à la question 4)
Cependant j'ai trouvé une astuce pour la 4)b) c'est en multipliant les termes puis en simplifiant... j'attend ta réponse! Merci à nouveau
Mariano MarianoMerci beaucoup Marcel de ton aide, je me suis aussi adressé à l'autre forum mais malheureusement je bloque à la question 4)
Cependant j'ai trouvé une astuce pour la 4)b) c'est en multipliant les termes puis en simplifiant... j'attend ta réponse! Merci à nouveau
re : Algorithme de Babone Posté le 21-05-08 à 02:30
Posté le 21-05-08 à 02:30Posté par Mariano Mariano
Bonsoir, je suis ravi de t'informer que maintenant je bloque à la question 4)c) j'ai réussi à démontrer que f(x) - √2 = ((x-√2)²)/ (2x)) c'était juste en replacant f(x) par sa valeur et en simplifiant ... j'ai aussi réussi à démontrer l'inégalité de la question 4)b) en remplacant Un-√2 par la valeur de la question précédente puis pour la c( je crois pouvoir la résoudre en multipliant tous les termes tout en mettant |un- √2|² et donc, pour le premier terme |Un-1 -√2| ≤ (1/2)² (un-2 -√2)^4 et ainsi de suite, le problème c'est que je ne suis pas sûr de la puissance de (1/2) et de (u0 - √2) pour |u1 - √2|² ≤ (1/2)^... (u0 - √2) ^... et ensuite je ne sais pas comment passer de |Un - √2|² à |Un - √2| sans mettre une grande racine sur la deuxième partie de l'inéquation...
Mariano MarianoBonsoir, je suis ravi de t'informer que maintenant je bloque à la question 4)c) j'ai réussi à démontrer que f(x) - √2 = ((x-√2)²)/ (2x)) c'était juste en replacant f(x) par sa valeur et en simplifiant ... j'ai aussi réussi à démontrer l'inégalité de la question 4)b) en remplacant Un-√2 par la valeur de la question précédente puis pour la c( je crois pouvoir la résoudre en multipliant tous les termes tout en mettant |un- √2|² et donc, pour le premier terme |Un-1 -√2| ≤ (1/2)² (un-2 -√2)^4 et ainsi de suite, le problème c'est que je ne suis pas sûr de la puissance de (1/2) et de (u0 - √2) pour |u1 - √2|² ≤ (1/2)^... (u0 - √2) ^... et ensuite je ne sais pas comment passer de |Un - √2|² à |Un - √2| sans mettre une grande racine sur la deuxième partie de l'inéquation...
re : Algorithme de Babone Posté le 21-05-08 à 07:35
Posté le 21-05-08 à 07:35Posté par mikayaou mikayaou
f(x)-√2 = (x-√2)²/(2x) => Un - V2 = (Un-1-V2)²/2Un-1 = ( (Un-1-V2)²/2 )*(1/Un-1)
comme Un-1 >= 1 alors 1/Un-1 <= 1 et Un - V2 = ( (Un-1-V2)/2 )²*(1/Un-1) <= ( (Un-1-V2)²/2 )
Un - V2 <= (Un-1-V2)²/2
sauf erreur comme pour x>=1, f(x) > V2 et la valeur absolue n'est pas obligatoire; seul le cas n=0 fait que Uo - V2 est négatif, mais plus après
Attention, je ne suis peut être pas suffisamment rigoureux : un vrai prof peut sûrement corriger et être plus "académique"
mikayaou mikayaouf(x)-√2 = (x-√2)²/(2x) => Un - V2 = (Un-1-V2)²/2Un-1 = ( (Un-1-V2)²/2 )*(1/Un-1)
comme Un-1 >= 1 alors 1/Un-1 <= 1 et Un - V2 = ( (Un-1-V2)/2 )²*(1/Un-1) <= ( (Un-1-V2)²/2 )
Un - V2 <= (Un-1-V2)²/2
sauf erreur comme pour x>=1, f(x) > V2 et la valeur absolue n'est pas obligatoire; seul le cas n=0 fait que Uo - V2 est négatif, mais plus après
Attention, je ne suis peut être pas suffisamment rigoureux : un vrai prof peut sûrement corriger et être plus "académique"
re : Algorithme de Babone Posté le 22-05-08 à 03:46
Posté le 22-05-08 à 03:46Posté par Mariano Mariano
Oui, cela est vrai, merci beaucoup mikayaou mais en rélité je suis bloqué dans la question 4)c):
c)
En déduire finalement que |Un-√2| ≤ [1/(2^(1+2+2²+…+(2^(n-1))*[(U0-√2)^(2n)]
mais, (CITATION je crois pouvoir la résoudre en multipliant tous les termes tout en mettant |un- √2|² et donc, pour le premier terme |Un-1 -√2| ≤ (1/2)² (un-2 -√2)^4 et ainsi de suite, le problème c'est que je ne suis pas sûr de la puissance de (1/2) et de (u0 - √2) pour |u1 - √2|² ≤ (1/2)^... (u0 - √2) ^... et ensuite je ne sais pas comment passer de |Un - √2|² à |Un - √2| sans mettre une grande racine sur la deuxième partie de l'inéquation...
Mariano MarianoOui, cela est vrai, merci beaucoup mikayaou mais en rélité je suis bloqué dans la question 4)c):
c)
En déduire finalement que |Un-√2| ≤ [1/(2^(1+2+2²+…+(2^(n-1))*[(U0-√2)^(2n)]
mais, (CITATION
je crois pouvoir la résoudre en multipliant tous les termes tout en mettant |un- √2|² et donc, pour le premier terme |Un-1 -√2| ≤ (1/2)² (un-2 -√2)^4 et ainsi de suite, le problème c'est que je ne suis pas sûr de la puissance de (1/2) et de (u0 - √2) pour |u1 - √2|² ≤ (1/2)^... (u0 - √2) ^... et ensuite je ne sais pas comment passer de |Un - √2|² à |Un - √2| sans mettre une grande racine sur la deuxième partie de l'inéquation...re : Algorithme de Babone Posté le 22-05-08 à 08:33
Posté le 22-05-08 à 08:33Posté par mikayaou mikayaou
salut Mariano
En fait, j'ai dit une bêtise car Un oscille autour de V2 et la valeur absolue se justifie pleinement...
je te mets la courbe de la suite U obtenue avec le grapheur gratuit Sine Qua Non :
mikayaou mikayaousalut Mariano
En fait, j'ai dit une bêtise car Un oscille autour de V2 et la valeur absolue se justifie pleinement...
je te mets la courbe de la suite U obtenue avec le grapheur gratuit Sine Qua Non :
re : Algorithme de Babone Posté le 25-05-08 à 00:24
Posté le 25-05-08 à 00:24Posté par Mariano Mariano
Merci mkayaou, j'aimerais bien savoir si quelqu'un pourrait m'aider avec la question 4)b)... Merci
Mariano MarianoMerci mkayaou, j'aimerais bien savoir si quelqu'un pourrait m'aider avec la question 4)b)... Merci
re : Algorithme de Babone Posté le 25-05-08 à 10:08
Posté le 25-05-08 à 10:08Posté par Marcel Marcel
On ne sait plus très bien où tu es bloqué
4a)
f(x)-√2 = (1/2)[x+(2/x)]-√2 = (x+2-2x√2)/(2x) = (x-2x√2+2)/(2x) = (x-√2)²/(2x)
4b)
|Un-√2| = |f(Un-1)-√2| = |(Un-1-√2)²/(2Un-1)| (d'après la question 4a)
Or, Un-1 ≥ 1
2Un-1 ≥ 2 0 < 1/(2Un-1) ≤ 1/2 1/|2Un-1| ≤ 1/2
Donc |Un-√2| = |(Un-1-√2)²/(2Un-1)| = (Un-1-√2)²/|2Un-1| ≤ (1/2)(Un-1-√2)²
4c)
Faire une démonstration par récurrence (en utilisant, pour l'hérédité, l'inégalité trouvée à la question 4b) ...
4d)
D'une part, si |U0-√2| ≤ 1/2 alors |U0-√2|^(2n) ≤ (1/2)^(2n)
D'autre part, 1+2+2²+…+2n-1 = (2n-1)/(2-1) = 2n-1 (c'est la somme d'une série géométrique), donc (1/2)^[1+2+2²+…+2n-1] = (1/2)^[2n-1]
Donc (d'après la question 4c) : |Un-√2| ≤ [(1/2)^(1+2+2²+…+2n-1)].[(U0-√2)^(2n)] ≤ (1/2)^[2n-1].(1/2)^(2n) = (1/2)^[2*2n-1] = (1/2)^[2n+1-1]
4e)
Faire une démonstration par récurrence pour démontrer l'inégalité de Bernoulli ...
Marcel MarcelOn ne sait plus très bien où tu es bloqué
4a)
f(x)-√2 = (1/2)[x+(2/x)]-√2 = (x+2-2x√2)/(2x) = (x-2x√2+2)/(2x) = (x-√2)²/(2x)
4b)
|Un-√2| = |f(Un-1)-√2| = |(Un-1-√2)²/(2Un-1)| (d'après la question 4a)
Or, Un-1 ≥ 1
2Un-1 ≥ 2 0 < 1/(2Un-1) ≤ 1/2 1/|2Un-1| ≤ 1/2Donc |Un-√2| = |(Un-1-√2)²/(2Un-1)| = (Un-1-√2)²/|2Un-1| ≤ (1/2)(Un-1-√2)²
4c)
Faire une démonstration par récurrence (en utilisant, pour l'hérédité, l'inégalité trouvée à la question 4b) ...
4d)
D'une part, si |U0-√2| ≤ 1/2 alors |U0-√2|^(2n) ≤ (1/2)^(2n)
D'autre part, 1+2+2²+…+2n-1 = (2n-1)/(2-1) = 2n-1 (c'est la somme d'une série géométrique), donc (1/2)^[1+2+2²+…+2n-1] = (1/2)^[2n-1]
Donc (d'après la question 4c) : |Un-√2| ≤ [(1/2)^(1+2+2²+…+2n-1)].[(U0-√2)^(2n)] ≤ (1/2)^[2n-1].(1/2)^(2n) = (1/2)^[2*2n-1] = (1/2)^[2n+1-1]
4e)
Faire une démonstration par récurrence pour démontrer l'inégalité de Bernoulli ...
re : Algorithme de Babone Posté le 26-05-08 à 21:03
Posté le 26-05-08 à 21:03Posté par Mariano Mariano
Merci Marcel, en réalité je suis bloqué dans la question 4)b) et en fait j'ai essayé par récurrence mais je n'arrive pas à la résoudre...
Citation: "je crois pouvoir résoudre la question 4)c) en multipliant tous les termes tout en mettant |un- √2|² et donc, pour le premier terme |Un-1 -√2| ≤ (1/2)² (un-2 -√2)^4 et ainsi de suite, le problème c'est que je ne suis pas sûr de la puissance de (1/2) et de (u0 - √2) pour |u1 - √2|² ≤ (1/2)^... (u0 - √2) ^... et ensuite je ne sais pas comment passer de |Un - √2|² à |Un - √2| sans mettre une grande racine sur la deuxième partie de l'inéquation..."
H.E.L.P!
Mariano MarianoMerci Marcel, en réalité je suis bloqué dans la question 4)b) et en fait j'ai essayé par récurrence mais je n'arrive pas à la résoudre...
Citation: "je crois pouvoir résoudre la question 4)c) en multipliant tous les termes tout en mettant |un- √2|² et donc, pour le premier terme |Un-1 -√2| ≤ (1/2)² (un-2 -√2)^4 et ainsi de suite, le problème c'est que je ne suis pas sûr de la puissance de (1/2) et de (u0 - √2) pour |u1 - √2|² ≤ (1/2)^... (u0 - √2) ^... et ensuite je ne sais pas comment passer de |Un - √2|² à |Un - √2| sans mettre une grande racine sur la deuxième partie de l'inéquation..."
H.E.L.P!
re : Algorithme de Babone Posté le 26-05-08 à 21:41
Posté le 26-05-08 à 21:41Posté par Marcel Marcel
Donc c'est la 4c qui pose problème (et non la 4b ...)
4c)
Montrons par récurrence que |Un-√2| ≤ [(1/2)^(1+2+2²+…+2n-1)].[(U0-√2)^(2n)] pour tout n N :
Vrai au rang 0 (car ...)
Si Vrai au rang n
Alors |Un-√2| ≤ [(1/2)^(1+2+2²+…+2n-1)].[(U0-√2)^(2n)]
Alors |Un+1-√2| ≤ (1/2)(Un-√2)² ≤ (1/2).[[(1/2)^(1+2+2²+…+2n-1)].[(U0-√2)^(2n)]]2
= (1/2).[(1/2)^(1+2+2²+…+2n-1)]2.[(U0-√2)^(2n)]2
= [(1/2)^1].[(1/2)^(2+2²+2³+…+2n)].[(U0-√2)^(2n+1)]
= [(1/2)^(1+2+2²+2³+…+2n)].[(U0-√2)^(2n+1)]
Alors Vrai au rang n+1
Marcel MarcelDonc c'est la 4c qui pose problème (et non la 4b ...)
4c)
Montrons par récurrence que |Un-√2| ≤ [(1/2)^(1+2+2²+…+2n-1)].[(U0-√2)^(2n)] pour tout n
N :Vrai au rang 0 (car ...)
Si Vrai au rang n
Alors |Un-√2| ≤ [(1/2)^(1+2+2²+…+2n-1)].[(U0-√2)^(2n)]
Alors |Un+1-√2| ≤ (1/2)(Un-√2)² ≤ (1/2).[[(1/2)^(1+2+2²+…+2n-1)].[(U0-√2)^(2n)]]2
= (1/2).[(1/2)^(1+2+2²+…+2n-1)]2.[(U0-√2)^(2n)]2
= [(1/2)^1].[(1/2)^(2+2²+2³+…+2n)].[(U0-√2)^(2n+1)]
= [(1/2)^(1+2+2²+2³+…+2n)].[(U0-√2)^(2n+1)]
Alors Vrai au rang n+1
Merci beaucoupppp ca m'a vraiment aidé 
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