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Officiel de la Taupe 7

Bonsoir.

De l'algèbre linéaire (ENS option MP)

citation :

Soit P un polynôme de degré n à coefficients complexes, à racines toutes distinctes notées et de coefficient dominant 1. On appelle discriminant de P le nombre   . Montrer que le discriminant de P s'écrit     Soit A une matrice carrée à coefficients complexes dont le polynôme caractéristique est à racines simples et de coefficient dominant 1. Soit B la matrice carrée dont les coefficients sont définis par . Montrer que le discriminant du polynôme caractéristique est égal au déterminant de B

Bonsoir perroquet.

Il s'agit du discriminant du polynôme caractéristique de A.

Voici une solution, en blanké

Bonsoir perroquet,

Très bonne résolution. J'ai une petite critique concernant la formulation de cet exercice: la première question ne sert à rien, j'aurais plutôt fait d'abord calculer le déterminant de Vandermonde avant de demander le calcul du déterminant de B.
Dans le cas où la matrice A est réelle et possède n valeurs propres réelles distinctes, on peut demander de montrer que B est symétrique définie positive (à valeurs propres strictement positives).
Quand A est réelle et ne possède pas de valeur propre complexe double, on peut montrer que le signe de det(B) ne dépend que du nombre n₀ de valeurs propres réelles de A. C'est:

alors la je peux pas repondre je ne suis qu'un 'collegien de 3eme