Forum : suites :
limites de suites

Bonjour, bonjour, je vous présente mon problème auquel j'ai réussis quelques questions bien que je bloque sur certaines :/

Voilàà alors nous partons de :

Soit (Un) la suite définie par:
Uo=2 et U_n+1=(7Un+3)/(2Un+2) pour tout entier n.

1)a) Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, tracer la courbe représentative C de la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+[ par : f(x)=(7x+3)/(2x+2)

et représenter les premiers termes de la suite (Un) sur l'axe des abscisses.

b) Emettre une conjecture sur la limite de la suite (Un).

2)a) Démontrer que , pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, f(x) appartient à l'intervalle ]0;+[.

b) En déduire que la suite (Un) est définie pour tout entier n, et que Un > 0

3)a) Démontrer que , pour tout entier n:
|U_n+1-3|1/2|U_n-3|, puis |Un-3|(1/2)ⁿ.

b) En déduire que la suite (Un) converge vers 3

POur la première question j'ai calculer les premiers termes ou
Uo=2
U1=17/6
U2=137/46
U3=1097/366

le b) j'ai dis qu'il semblait qe la limite de la suite était +.
par contre je lutte un peu pour la suite :/ si quelqu'un aurait un peu de temps pour m'expliquer s'il comprend ca serait gentil
merciii

A vue de nez et surtout en voyant la question 3)b), la limite de ta suite, c'est plutôt 3...

Pour le 2a, c'est tout simple... Si x>0, 7x+3>3 et 2x+2>2 donc...

ouep exuse moi
et par contre pour la première question je ne dois pas calculer les premiers terme mais les placé sur le graphique pour ca ya pas de souci

par contre si tu pouvais m'expliquer comment faire pour la 3)a) parce que je ne comprend pas trop :/
Enfin si tu as une idée ?! merciii
[ ou quelqu'un d'autre :p ]

|U_n+1-3|=|(7U_n+3)/(2U_n+2)-3|
=|(U_n-3)/(2U_n+2)| (après simplification).

=1/2|(U_n-3)/(U_n+1)|

Comme U_n>0 quel que soit n, U_n+1>U_n et on arrive à la majoration souhaitée...

donc ouii à partir de cela on peut dire que
| U_n+1-3|1/2|U_n-3|

mais pour | U_n-3||(1/2)ⁿ
je ne sais jamais comment trvailler avec les puissance comme ici :S

et je ne comprend pas également comment grace à ces démonstration on peut en déduire que (Un) converge vers 3.
:S exuse moi de t'embèter !

Alors, pour montrer que |U_n-3|(1/2)^n, il faut raisonner par récurrence.

Tu montres que c'est vrai pour U0 et à partir de ta relation précédente, tu le montres facilement par récurrence.

Pour la convergence, tu fais tendre cette relation vers l'infini et tu arrives à |lim Un-3|=0 donc lim Un=3 !

Ah d'accord
donc si on remplace par Uo on aura donc

|U_o-3|(1/2)ⁿ
ce qui nous fait
-1(1/2)ⁿ

et ceci est vrai. il suffit simplement de faire ça alors ? ou on doit le faire avec U₁également pour ajouter un exemple ou cela suffit ?

Attention |U0-3|=1 et (1/2)^0=1 aussi.

Donc la relation est vraie pour n=0.

Ensuite, on a |U1-3|<1/2|U0-3| d'après la relation précédente.
Donc, |U1-3|<1/2

et ainsi de suite pour expliciter la relation que l'on cherche !

ahh ouii c'est vraii Ookay mercii jvais essayer de cherché le reste maintenant !
Mercii beaucoup
Bonne soirée =D