Exo défi > Matrices et polynôme

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 Exo défi > Matrices et polynôme Posté le 19-05-08 à 18:52
Posté par Nightmare Nightmare 

Bonsoir à tous 


Un exercice pas difficile mais dont le résultat est sympathique :

Citation :
Soit . Montrer qu'il existe un polynôme P tel que 


 re : Exo défi > Matrices et polynôme Posté le 19-05-08 à 18:55
Posté par otto otto

Bonjour,
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Cayley-Hamilton
 re : Exo défi > Matrices et polynôme Posté le 19-05-08 à 18:56
Posté par otto otto

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en fait on peut s'en tirer en remarquant que 1,A,...,A^p constitue une famille liée pour p assez grand, en fait p=n+1 convient
 re : Exo défi > Matrices et polynôme Posté le 20-05-08 à 14:23
Posté par Camélia Camélia 

Bonjour

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Selon ce que l'on sait, on finit toujours par dire que la famille des m premières puissances de A est liée pour m assez grand, on s'arrange pour que le coefficient non nul de I soit égal à 1 et on multiplie par A-1.
 re : Exo défi > Matrices et polynôme Posté le 20-05-08 à 18:41
Posté par veleda veleda

bonsoir
>>Camélia
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on a si est le premier coefficient non nul on multiplie par

c'est cela que tu veux dire par" on s'arrange"
 re : Exo défi > Matrices et polynôme Posté le 20-05-08 à 22:47
Posté par Nightmare Nightmare 

Bonsoir tout le monde 


otto et Camélia >  Cliquez pour afficher
votre méthode commune est intéressante, j'avais utilisé la première méthode d'Otto avec Cayley-Hamilton. Bref, je savais que ça n'allait pas être dur pour vous (quoi que pour Otto j'avais des doutes !  )
 re : Exo défi > Matrices et polynôme Posté le 21-05-08 à 16:09
Posté par Camélia Camélia 

>veleda

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Non, ce que je veux dire c'est que dans la combinaison linéaire nulle entre (I,...,Am) le coefficient de I est forcément non nul; sinon on aurait quelque chose du genre AB=0 et A ne serait pas inversible. Il suffit donc de prendre 1 devant I.



>Nightmare

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Il est intéressant de pouvoir faire cet exo avant de connaitre Cayley-Hamilton, qui est quand même assez élaboré. Le fait que l'on soit dans un espace de dimension finie, suffit.
 re : Exo défi > Matrices et polynôme Posté le 22-05-08 à 11:47
Posté par veleda veleda

bonjour,

>Camélia Cliquez pour afficher
j'ai compris (enfin je crois) ce que tu notes m c'est n exactement

sinon on peut avoir par exemple dans M2(C) 0I+A+A²+A3=0 avec A inversible
 re : Exo défi > Matrices et polynôme Posté le 22-05-08 à 17:00
Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bonjour tout le monde, 


Toujours après la bataille... 

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Bon, on considère lepolynôme minimal de A. De deux choses l'une, il existe (forcément!) et de plus le coef du terme de degré 0 n'est pas nul (ça devient du fait que A est inversible).

Alors  et donc 



Sauf erreur...

 re : Exo défi > Matrices et polynôme Posté le 22-05-08 à 22:19
Posté par Nightmare Nightmare 

Ayoub >  Cliquez pour afficher
Oui, cela revient au même qu'avec le polynôme caractéristique
  re : Exo défi > Matrices et polynôme Posté le 23-05-08 à 16:16
Posté par Camélia Camélia 

>veleda

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J'ai enfin compris ce que tu veux dire et tu as parfaitement raison! Je tenais quand même de faire une démonstration avec des connaissances minimales, et ce n'est pas rigoureux. En fait, tu as donné la manière de l'arranger le 20/05 à 18:41! désolée pour la lenteur de compréhension...

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