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  posté le 21/05/2008 à 00:24Entrainement aux oraux 
 posté par : monrow 
Bonjour 

Pour qu'on s'entraine tous un peu aux oraux, je vais poser sur un topic 5 questions à répondre en détails ... On peut alors discuter après les solutions et s'approfondir encore plus !

citation :

1)  et  sont-ils isomorphes?

2) Soit A une matrice de  de trace nulle.

Montrer que A est semblable à une matrice de diagonale nulle.

3) Soit E un K-ev de dimension n et f un endomorphisme nilpotent sur E tel que 

et . Trouver le commutant de f, autrement dit tous les endomorphismes g sur E qui commutent avec f.

4) Soit A. Le rayon spectral  est le maximum des modules des valeurs propres de A. Montrer l'équivalence suivante :

La suite 

5) Soit  une suite qui tend vers 0. On suppose que . Montrer que 

Vous aimez l'idée?

Bonne réflexion
  posté le 21/05/2008 à 01:01re : Entrainement aux oraux 
posté par :  Nightmare (Modérateur)
Salut 

Pour les deux premières :

 Cliquez pour afficher

1) Z est monogène contrairement à Z², ils ne sont donc pas isomorphe (expédié  )

2) Par récurrence sur n.

Pour n=1 c'est bon.

On suppose que c'est vrai pour n quelconque.

On considère E de dimension n+1 et un endomorphisme f de E de trace nulle.

Si f est non identiquement nulle, alors ce n'est pas une homothétie (la trace de k.Id n'est pas nulle). 

On peut trouver un e tel que (e,f(e)) soit libre.

On complète alors cette dernière famille en une base  de E.

Soit p le projecteur de E sur  parallèlement à . et h=pfp.

C'est un endomorphisme de  dont la matrice M dans la base  est égale à la matrice de f dans la base B à laquelle on a supprimé la première ligne et la première colonne.

Par conséquent 

D'après l'HR, il existe une base B' de  dans laquelle h admet une matrice de diagonale nulle.

Comme f(e) est dans , si l'on complète B' en (e,B'), on a bien une matrice représentant f de diagonale nulle.

la 4) est classique, je l'ai traitée il y a quelques jours donc je laisse les autres s'en charger.

  posté le 21/05/2008 à 11:09re : Entrainement aux oraux 
posté par : monrow 
Jord>> Cliquez pour afficher
C'est booon !  Sinon une petite autre question !  et  sont-ils isomorphes ? 
  posté le 21/05/2008 à 17:36re : Entrainement aux oraux 
posté par :  Nightmare (Modérateur)
 Cliquez pour afficher
Pour la 3)

Je dirais que le commutant de f est 

Je travaille sur la preuve

  posté le 21/05/2008 à 17:46re : Entrainement aux oraux 
posté par :  Nightmare (Modérateur)
 Cliquez pour afficher
En fait ce n'est pas dur.

On choisie un e qui ne soit pas un zéro de .

On démontre (exo classique) que  est une base de E

Soit g qui commute avec f.

On note 

On montre alors facilement que  en calculant pour tout i dans [|0,n-1|] .

Réciproquement il est clair qu'une combinaison linéaire des fk commute avec f.

  posté le 21/05/2008 à 19:34re : Entrainement aux oraux 
posté par : monrow 
Jord>> Cliquez pour afficher
 J'ai troué la même chose ! 
  posté le 21/05/2008 à 22:03re : Entrainement aux oraux 
posté par : veleda
bonsoir,

4)une autre idée

soit u  de Rntel que fn-1(u)soit non nul

dans la base (u,f(u),f²(u)....fn-1(u)) A(ai,j) la matrice de f est triangulaire inférieure stricte avec la sous diagonale formée uniquement de 1  ak+1,k=1 pour k compris entre 1 et n-1 les autres termes étant nuls

dans R5

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 =A

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

 en ecrivant qu'une matrice M commute avec A on trouve facilement que M est une matrice diagonale inférieure

ses éléments diagonaux étant tous égaux ainsi que les éléments de chacune des n-1  sous diagonales ce qui veut dire que M est combinaison linéaire de I,A,A²,....An-1.
  posté le 21/05/2008 à 23:21re : Entrainement aux oraux 
posté par : Fractal
Bonsoir 

 Cliquez pour afficher
citation :
 et  sont-ils isomorphes?

On suppose m > n.

Alors la famille  est libre dans  mais son image par un isomorphisme serait une famille de cardinal m libre dans  (clair) ce qui est impossible car elle serait alors également libre dans  espace vectoriel on a pris m > n.

Fractal 
  posté le 21/05/2008 à 23:50re : Entrainement aux oraux 
posté par : Fractal
 Cliquez pour afficher
Petite précision : le fait que la liberté dans  implique celle dans  n'est pas si clair.

On sait que si  sont des entiers, .

Si  sont des rationnels, on multiplie par leur dénominateur commun pour se ramener à des entiers, d'où la famille est également libre dans 

Et c'est tout, pas la peine de s'embêter à aller voir dans R, la seule chose qui importait était qu'on arrive dans un espace vectoriel 

Fractal 
  posté le 22/05/2008 à 00:20re : Entrainement aux oraux 
posté par : monrow 
Veleda>> Cliquez pour afficher
Jolie méthode aussi ! 

Fractal>> Cliquez pour afficher
Joli ! Moi j'aurais dis par exemple que  et  sont de cardinaux différents si m est différent de n, dinc impossible qu'une bijection existe entre les deux ... Mais je pense qu'il y a une faille peut-être ...
  posté le 22/05/2008 à 00:40re : Entrainement aux oraux 
posté par : Fractal
monrow ->
 Cliquez pour afficher
Oui, il y a une faille ^^

Ils sont tous les deux dénombrables, donc c'est facile de trouver une bijection de l'un dans l'autre 

Mais du coup ce ne sera pas un morphisme.

Fractal 
  posté le 22/05/2008 à 00:46re : Entrainement aux oraux 
posté par : monrow 
Fractal>> Cliquez pour afficher
je dis n'importe quoi ! j'ai confondu fini et dénombrable !  sinon ta méthode est très claire, brève et sympa ! 
  posté le 22/05/2008 à 22:22re : Entrainement aux oraux 
posté par : lyonnais 
Bonsoir 

Juste au passage, ta question 2) monrow était exactement une question de l'épreuve de Mathématiques MPI 1 de l'ENS cette année.

A bientôt 
  posté le 22/05/2008 à 23:35re : Entrainement aux oraux 
posté par : monrow 
salut lyonnais !

Ah booon ! 
   posté le 23/05/2008 à 20:40re : Entrainement aux oraux 
posté par : 1 Schumi 1
C'est du grand classique ces questions momo, c'est pour ça qu'ils les posent tels quels à Normal. 

Romain >> Alors c'était comment? T'as le sujet là?

citation :
1) et sont-ils isomorphes? 2) Soit A une matrice de de trace nulle. Montrer que A est semblable à une matrice de diagonale nulle. 3) Soit E un K-ev de dimension n et f un endomorphisme nilpotent sur E tel que et . Trouver le commutant de f, autrement dit tous les endomorphismes g sur E qui commutent avec f. 4) Soit A. Le rayon spectral est le maximum des modules des valeurs propres de A. Montrer l'équivalence suivante : La suite 5) Soit une suite qui tend vers 0. On suppose que . Montrer que

citation :
et sont-ils isomorphes?

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