Exercice TP suites et limites

Posté par Pirouette Pirouette

Bonsoir, je bloque à la 3ème question d'un exercice :s .Pouvez vous m'aider svp.

Enoncé:  Soit ( Un) la suite définie par Uo= a ; a 0    et U(n+1) = 2/U(n)+1
On choisi a=5

Soit (Wn) une suite définie pour tout n par W(n)= (Un-2)/(Un+1)

1. Démontrer la conjecture faite sur la nature de (Wn)
2. Exprimer Wn en fonction de n
3. Exprimer Un en fonction de Wn puis de n
4. Déterminer la limite de la suie ( Wn) puis celle de la suite (Un).



Voici mes réponses:

1. W(n+1)= (Un-2)/(Un+1) =(2/Un -1)/(2/Un+2)= -1/2((Un-2)/(Un+1))=-1/2* Wn
Il s'agit bien d'une suite géométrique de raison q=-1/2

2. W₀= (U₀-2)/(U₀+1)=0.5
     Donc par définition d'une suite géométrique Wn= W₀*qⁿ, Wn= 0.5*(-1/2)ⁿ

Pouvez vous m'aider pour la question 3 svp.

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

dans ton Wn+1 tu as oublié les +1 aux Un

tu oeux aussi écrire Wn = (-1)^n/2^(n+1)

comme Wn = (Un-2)/(Un+1)

(1+U)W = U-2

U(W-1) = -2-W

U = (2+W)/(1-W) = (-1+W+3)/(1-W) = -1 + 3/(1-W)

Un = -1 + 3/(1 - (-1)^n/2^(n+1) )

tu vérifies Uo = -1 + 3/(1-1/2) = 5

si n->+oo,  (-1)^n/2^(n+1) -> 0 et Wn ->0 et Un -> -1+3=2

A vérifier

Posté par mikayaou mikayaou

Pour Un, tu peux même intégrer le moins dans (-1)^n pour que ce soit plus compact :

Un = -1 + 3/( 1 + (-1/2)^(n+1) )