Forum : géométrie :
courbe paramétrée

bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'aider à comprendre les courbes paramétrées, surtout lorsqu'il s'agit de fonction trigonométrique.

on me donne : x(t) = cos3t et y(t)= sin2t

Je ne comprends pas comment on détermine le domaine de définition pour ensuite le réduire et identifier les symétries.

Merci à ceux qui pourront m'aider sur la méthodologie

bonjour

Df sur x et y => R

parités et périodes...

pour info

si au lieu du domaine de def c'est le lieu des valeurs de x et y que tu cherches, les sin et cos montrent que -1 <= (x et y) <= 1

merci !

Peux-tu m'expliquer la méthodologie pour déterminer la période ?

Bonjour
tu sais que sin et cos sont 2pi-périodiques.
donc ajouter 2pi à 3t ne changera pas x, ajouter 2pi à 2t ne changera pas y
ajouter 2pi à 2t ça revient à ajouter pi à t : période pour y : pi et tous ses multiples.
ajouter 2pi à 3t, ça revient à ajouter 2pi/3 à t : période 2pi/3 et tous ses multiples pour x

pour x : 2pi/3, 4pi/3, 2pi, 8pi/3 etc
pour y : pi, 2pi, 3pi, 4pi etc
le plus petit nombre commun aux deux listes est 2pi, donc on fait l'étude sur un intervalle de 2pi pour avoir toute la courbe.

hep-hep

x(t) = sin(2t) est impaire et y(t) = cos(3t) est paire

Ainsi, en ne faisant l'étude que sur un intervalle de la moitié de la période, soit[ 0 ; pi [ par exemple, et en faisant une symétrie / Oy tu obtiens la courbe entière correspondant à t € [-pi;0[

Et même mieux :

comme x(pi-t) = -x(t) et y(pi-t) = -y(t) , tu peux ne faire l'étude que sur [0;pi/2[ et faire une symétrie / O pour avoir la partie de t sur [pi/2;pi[

Récapitulons :
1 - tu fais l'étude de x(t);y(t) pour t € [0;pi/2[ ( courbe rouge )
2 - tu représentes la symétrique / O de la courbe obtenue au 1- ( courbe bleue ) correspondant à t € [pi/2;pi[
3 - tu représentes la symétrique / Oy des deux courbes précédentes ( courbe verte ) correspondant à t € [-pi;0[

tu as ainsi ta courbe en entier ( représentation pour t variant sur un intervalle de 2pi correspondant à la période ) en ne faisant qu'une petite étude pour t € [0;pi/2[



A vérifier

pourquoi hep-hep, mika ?
_{la période et la largeur 2pi ne sont qu'une étape, je ne répondais qu'à sa question sur la périodicité .... j'attendais une réaction pour continuer (ou te laisser continuer, selon qui est connecté à ce moment là ...)}

oui lafol

c'est le :

on fait l'étude sur un intervalle de 2pi pour avoir toute la courbe.

qui m'a fait dire hep-hep

si Patrice Rabiller lit ce post, il serait bien de pouvoir faire apparaître, sur la même ligne que xn(t) et yn(t), l'intervalle de variation du paramètre t de chaque fonction fn...

ça permettrait de pouvoir, facilement, comparer les intervalles de variation de t pour chacune des fonctions fn représentées

( c'est plus du confort qu'autre chose, mais ça améliore l'ergonomie du logiciel )

En espérant être plus convainquant que sur la demande du niveau à gauche auprès de T_P...

--------------

L'ergonomie est, à mon sens, aussi importante - quelque fois plus - que les fonctionnalités intrinsèques d'un logiciel

Sur des projets professionnels, nous avons pu nous rendre compte que des fonctionnalités étaient utilisées/appréciées de façon plus importantes quand elles étaient faciles à mettre en oeuvre...

c'est ainsi

tu as raison : j'aurais dû préciser "il suffit de faire l'étude" (mais la suite montre que ce n'est pas nécessaire)

et pour tes remarques sur l'ergonomie, je suis entièrement d'accord avec toi !

merci à tous !

Ce site est une mine d'or...en compétences !

je reviens vers vous car j'ai besoin d'une explication complémentaire.

j'ai une fonction : x(t) = tan t + sin t et y(t) = 1/cos t

Je n'arrive pas à voir à quoi correspondent ces expressions du point de vue géométrique

pouvez-vous m'expliquer ? (j'imagine que j'ai des lacunes en ce qui concerne la trigonométrie !)

merci !

bonjour

elles correspondent...à pas grand chose

x et y sont fonction de t, un point c'est tout

A moins que ton énoncé précise d'où elles viennent : éventuellement donne ton énoncé in extenso

pour info, SQN donne ceci



il est aisé de voir que chaque tronçon peut être écrit sous une forme simple

découpe par intervalle de pi/2, en ayant préalablement défini la période et les symétries possibles

non, il ne précise pas

Je ne comprends pas comment x peut être déterminé par la tangente et le sinus.

Pour moi, x = cos et y = sin. (je crois que je n'y vois pas très clair !)

La méthode que tu m'as donnée pour l'exemple précédent est également valable ici pour trouver le domaine, la période et les symétries ?

voui

tu mélanges des informations de trigo et la notion de courbe paramétrée

il faut seulement que tu comprennes que l'abscisse et l'ordonnée d'un point M(x;y) dépendent d'un paramètre qu'on appelle t ( c'est souvent le temps, le paramètre, d'où le t )

et on cherche le lieu des points M quand t varie

c'est pas plus compliqué que ça

la confusion que tu fais est avec le cercle trigonométrique

POUR LE CERCLE UNIQUEMENT, x(t)=cost et y(t)=sint donne un cercle pour le lieu des points M

Est-ce plus clair ?

A l'avenir, donne ton énoncé en entier, sans en changer un mot - merci -

ok ! merci !

Bonjour
as-tu joué au télécran quand tu étais petit ? x(t), ça décrit de quelle façon tu agis sur le bouton qui fait déplacer horizontalement la petite bille (x(t) = t : 1 mm chaque seconde, par exemple)
y(t), lui, décrit à quel rythme on agit sur le bouton vertical.
agir sur les deux boutons en simultané permet de dessiner des courbes.

belle image, lafol -bonjour- : je cherchais désespérément un exemple et celui-ci est parfait

c'est celui que je donne toujours quand j'ai un cours à faire sur les courbes paramétrées ... mais de plus en plus souvent, les plus jeunes ne voient pas de quoi je parle .... il faut en apporter un en cours !

j'ai bien compris l'exemple. merci !

j'y reviens

x = tant + sint = sint/cost + sint = y.sint + sint = sint(1+y) => sint = x/(1+y)
y = 1/cost => cost = 1/y

sin²+cos² = 1 donne x²/(1+y)² + 1/y² = 1

il est plus simple d'exprimer x=f(y) que y=g(x); une fois f connue, on prendra la fonction réciproque ( conditions... ) par symétrie / 1ère bissectrice

x²/(1+y)² = (y²-1)/y²
x² = (1+y)²(y²-1)/y² = (1+1/y)²(y²-1)

x = |1+1/y|racine(y²-1)

ce qui se trace "facilement" par SQN ( mais qui pourrait aussi s'étudier )



Ensuite, telle est la courbe, on réalise sa symétrique par rapport à la première bissectrice pour obtenir y = g(x)



A vérifier

et le :

" il est aisé de voir que chaque tronçon peut être écrit sous une forme simple "

de mon post de ce midi à 14:13 n'est pas du tout vrai, comme je le pensais initialement ( je pensais - à tort - que la partie de la courbe telle que y < 0 était composée de 2 segments de droites... )

>pour grizzli

la tranformation précédente, x=fonction(y), avait pour but de faire disparaître la variable t et de relier y à x

pour faire cela, il faut préalablement s'assurer des domaines de définitions et des intervalles d'existence sur x(t) et y(t)

en l'occurence, il n'y a pas de retriction à t (hormis les (2k+1)pi/2 liés aux cos(t) nuls donnant des x et y infinis ), les expressions de x et y sont telles qu'il n'y a pas de restriction sur x(t) et y(t)

quant aux périodicités et aux symétries liées aux parités, tu ne peux les voir que sur les expressions de x(t) et y(t)...

_{n'hésite pas à faire remonter ton topic si ce n'est pas clair...}

>mika Tu as réfléchi longtemps... longtemps...

_{non, non, Camélia : je préfère répondre sur l'île plutôt que par mail quand j'en reçois sur ma mp...}

saluuuuuuuuuuut

Tu as bien raison!

merci !

En fait, la difficulté que je rencontre actuellement est dans la définition de la période lorsque x(t) ou y(t) mélange cos, sin (qui sont 2pi périodiques) et tan  (qui est Pi périodique)

ex : x(t) = tan t + sin t

Bonjour
quand tu as plusieurs morceaux, comme ici, fais la liste des périodes de chacun :

pi - 2pi - 3pi - 4pi ... pour tan
2pi - 4pi - 6pi - 8pi ... pour sin

et la période de x sera le plus petit nombre contenu dans les deux listes : ici 2pi

(tu fais ça aussi quand d'aventure x et y n'ont pas la même période)

merci ! je comprends mieux !

y'a pas d'quoi