Activité, suite, placements à inérêts simples ou composés...

Posté par Toine974 Toine974

Bonjour, alors voilà: Je ne parviens pas à faire un exercice concernant les suites...
Celui-ci étant à rendre bientôt, je fais donc appel au forum.

Voici l'énoncé:
une banque propose à ses clients deux façons de placer un capital C au taux de t%.

-Un placement à intérêts simples: chaque année t% du capital initial s'ajoute au capital acquis.

-Un placement à intérêts composés: chaque année, le capital augmente de t% de sa valeur au début de l'année.

On note So = To = C au bout de n année (n*), Sn le capital acquis avec le placement à intérêts simples et Tn celui acquis avec le placement à intérêts composés.

1) Expression de Sn et Tn:

a/ Démontrer que la suite (Sn) est arithmétique. Exprimer sa raison en fonction de C et de h = t/100.
En déduire l'expression de Sn en fonction de C, h et n.

b/Démontrer que la suite (Tn) est géométrique. Quelle est sa raison?
En déduire l'expression de Tn e foncton de C, h et n.

2) Comparaison des placements:

utiliser un tableur ou la calculatrice pour répondre aux questions suivantes.
On prend par exemple C = 1000.

a/On suppose que h = 0.1.
Calculer Sn, Tn et Tn - Sn pour n = 1 à n = 15.

Dans un repère, placer les points de coordonnées (n;Sn) et (n.Tn) pour n = 1 à n = 15.

b/Reprendre la question "a/" avec h = 0.05, puis h = 0.01.

3) Avec des fonctions:

n est un entier tel que n2 et f est la fonction définie sur par f(x) = x^n.

a/Écrire l'approximation afine de f(1+h) pour h proche de 0.

b/ Expliquer alors le faible écart observé entre Sn et Tn lorsque h, c'est à dire t, est petit.



Voilà ...  Merci pour votre aide

Posté par kioups kioups

1a. Utilise la définition d'un placement à intérêts simples et fais le lien avec les suites arithmétiques.

1b. Idem en utilisant la définition d'un placement à intérêts composés

Posté par Toine974 Toine974

"la définition d'un placement à intérêts simples" Quelle est-elle? Et je ne pense pas que ce soit accépté...

j'ai essayé en faisant la différence: Sn+1 - Sn mais ca ne me donne pas une constante...

Posté par kioups kioups

Dans un placement à intérêt simples, comme dit dans l'énoncé, le capital augmente tous les ans d'un % du capital initial. Donc, on ajoute à chaque terme de la suite le même nombre. C'est donc une suite arithmétique.

La raison de cette suite est tout simplement h.C

On a alors Sn=C+h.C.n

Et on a la même chose pour la suite géométrique...

Posté par Toine974 Toine974

Ah d'accord. et hC est une constante...

Moi j'ai Sn =  Sn-1 + h.C, est-ce équivalent à ton écriture ?

Posté par kioups kioups

oui, c'est juste mais ça ne répond pas à la question.

Tu exprimes là un terme en fonction du terme précédent.

Dans l'énoncé, on doit exprimer Sn en fonction de C (premier terme de la suite) et de la raison hC.

Posté par Toine974 Toine974

Mais pourquoi pas tout simplement:
Sn = C + hC

[(U(n+1) = Un + r)
Or ici: U(n+1) > Sn ; Un > So > C ; r > hC]

Posté par Toine974 Toine974

Ah c'est la formule explicite. Un = Uo + n.r. Non ?

Posté par kioups kioups

voilà, c'est la formule explicite.

Posté par Toine974 Toine974

Ok! Merci

Maintenant, pour le b/
Je dois dire que dans un placement à intérêts compsés, comme dit dans l'énoncé, on ajoute a chaque terme de la suite un pourcentage du terme précédent:
Ce qui est équivalent à multiplier le terme précédent par une valeur (égale à 1+h) pour obtenir le reme suivant. Donc c'est une suite géométrique.
Et que par conséquent sa raison vaut: 1+h.
d'où Tn = C x (1+h)

Est-ce correct? Est-ce correctement dit ?

Posté par kioups kioups

Oui, ça me paraît bien tourné !

Par contre Tn n'est pas égal à C.(1+h).

Tu fais la même erreur, tu compares un terme à celui qui le précède.

Utilise la formule explicite des suites géométriques.

Posté par Toine974 Toine974

Oups ^^' . En effet

On a donc: Tn = C.(1+h)^n.
Right ?

Je vais essayer d'faire le 2) avec Excel et le peu de connaissance en tableur que j'ai.

Posté par kioups kioups

Right !

Pour le reste, à part l'approximation affine, c'est du gâteau !

Posté par Toine974 Toine974

Rebonjour

Alors après avoir fait la question 2 à la calculatrice (pas reussi avec Excel) et un travail chirurgical a tracer des courbes à tracer,

me voici à la question 3):

a/ f(x) = x^n

approximation affine de f(1+h) = f(1) + h.f'(1) = 1^n + h.n.x^(n-1)
Soit "lim de f(1+h) lorsque h tend vers 0" =1^n

et je vois pas comment faire la b/.

¿ ... ?