Forum : suites :
Problème court sur une somme de suite

Bonjour,
J'ai un DM à faire pour lundi prochain et je bloque sur un exercice plutôt court, mais qui me pose vraiment problème.
Calculer la valeur exacte de la somme
S=2/3+3/2+(2/3)^2+(3/2)^2+(2/3)^3+(3/2)^3+......+(2/3)^10+(3/2)^10
D'abord j'ai cherché à trouver Un et j'ai trouvé
Un=(2/3)^n+(3/2)^n
Est-ce que c'est juste? Parce-que j'ai un doute...
Ensuite pour calculer la suite, je ne sais pas quelle méthode utiliser, je serais tenté de dire que c'est une suite arithmétique mais je ne suis pas sûr...
Voilà si quelqu'un peut m'aider
D'avance merci,
Oddadjian

Bonjour

c'est la somme de deux suites géométriques différentes.


et tu es supposé savoir calculer la valeur de chaque parenthèse.

Bonjour, ton raisonnement est tout à fait correct ,moi je procéderais ainsi:

Appelons Un=Vn+Wn avec Vn=(2/3)^(n) et Wn=(3/2)^(n), les suites (Vn) et (Wn) sont toutes 2 des suites géométriques de premier terme 1 et de raison 2/3 et 3/2 respectivement, on peut donc calculer leur somme séparemment puis la somme des 2 correspondra à la somme de (Un):

  Vn=1+2/3+(2/3)^(2)+...+(2/3)^(n)
-(2/3)*Vn=-(2/3)-(2/3)^(2)-...-(2/3)^(n+1)
----------------------------------------------
  alors: (1-2/3)*Vn= 1-(2/3)^(n+1) car la garande majorité des termes s´éliminent...
donc: Vn=[1-(2/3)^(n+1)]/[1-(2/3)] soit: Vn=3*[1-(2/3)^(n+1)]

Par analogie Wn=2*[(3/2)^(n+1)-1] d´où :

  Un=3*[1-(2/3)^(n+1)]+2*[(3/2)^(n+1)-1]= 1 +(3/2)^(n+1)-(2/3)^(n+1)

je n´avais pas bien lu, alrs tu n´as plus qu´à substituer n par 10

j´ai vu que ta somme commence a premier terme 2/3 puis 3/2 et  non pas par 1, tu dois donc multiplié Vn par (2/3) puis Wn par (3/2) ainsi:

Vn=2*[1-(2/3)^(n+1)] puis Wn=3*[(3/2)^(n+1)-1]

Ok merci beaucoup, je viens d'en parler avec ma prof tout à l'heure avant de lire os réponses et j'étais arrivé à la conclusion de calculer chacune des suite séparément et additionner le résultat.