Homogénéité

Posté par SG_Rambo SG_Rambo

Salut à tous. Je voudrais savoir comment prouver qu'une fonction est homogène de degré 2 par exemple. Je sais que si f(tx,ty)=t^alpha f(x,y) alors f est homogène. Vous pouvez me donner une grosse série d'exemples s'il vos plaît et m'expliquer aussi, please

Posté par flavieneco flavieneco

ben par exemple pour montrer que f(x,y) = x²+y² est homogene de degré r
on pose :

f(tx, ty) = (tx)²+(ty)² = t²x²+t²y² = t²(x²+y²) = t² f(x,y)
donc fonction homogene de degré 2

en esperant que tu aies compris !

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour,

autre exemple: g(x,y) = -3x² + 5xy est homogène de degré 2 (mais non symétrique, contrairement à l'exemple proposé par :flavieneco) puisque g(tx,ty) = t²(-3x² + 5xy).

Contre-exemple: h(x,y) = x² + y n'est pas homogène car h(tx,ty) n'est égal à aucune expression du type comme il est aisé de le démontrer en examinant, par l'absurde, ce qui se passerait sinon en choisissant par exemple x = y =1.

Posté par SG_Rambo SG_Rambo

C'est justement dans ton exemple que je ne comprends pas Tigweg car si je fais h(tx,ty) ça fait bien t²x+t²y=t²(x²+y) donc ça l'est? En fait il faut que f(tx,ty)=(tx)²+(ty)² si j'ai bien suivi
N'hésitez pas à m'envoyer des exemples( compliqués aussi je prends)

Posté par Tigweg Tigweg

Non, si tu remplaces x par tx et y par ty dans mon exemple , tu ne trouves pas t²x² + t²y mais t²x² + ty !

Posté par SG_Rambo SG_Rambo

Ah ok!! j'ai compris!! Et pour trouver le degré on regarde celui qui a la valeur la plus grande ou.......

Posté par Tigweg Tigweg

Comment cela?

Soit on peut mettre tous les t en facteurs à la même puissance et c'est homogène, soit on ne le peut pas et ce n'est pas homogène.

Ainsi dans mon dernier exemple, la fonction n'était pas homogène.