Lieu géometrique d'un barycentre et fonction

Posté par Chiyoko Chiyoko

Je rencontre de grandes difficultés pour faire cet exercice, j'espère que quelqu'un pourra m'aider.

Soit OABC un tétraèdre et P un plan parallèle au plan (ABC) et ne passant pas par O.
Soit P,Q,R les points d'intersection respectifs du plan P et des droites (OA), (OB), (OC), et I,J,K les milieux respectifs des segments [QR], [RP], [PQ].

1) a. Justifier l'existence d'un réel x tel que P est le barycentre du système pondéré {(O,x);(A,1-x)}.

b. Démontrer alors que Q est le barycentre du système pondéré {(O,x);(B,1-x)} et que R est le barycentre du système pondéré {(O,x);(C,1-x)}.

2) a. Exprimer I comme un barycentre de O, B et C.

b. Exprimer J comme barycentre de O,A et C.

c. Exprimer K comme barycentre de O, A et B.

3) On considère x un réel différent de 3.

a. Démontrer que le système pondéré {(O,2x); (A,1-x); (B,1-x); (C,1-x)} admet un barycentre, noté Sx.

b. Démontrer que les droites (AI), (BJ), et (CK) sont concourantes en Sx.

4) a. Etudier la fonction f définie sur R - {3} par f(x)= (3-3x)/(3-x).

b. Déterminer le lieu géométrique des points Sx lorsque x décrit R-{3}

Posté par annakin47 annakin47

1)a) O,A et P sont alignés donc les vecteurs et sont colinéaires donc il existe tel que etc...( Il faudra utiliser Chasles ensuite).

1)b) Si tu te places dans le triangle OAB, tu devrais pouvoir utiliser Thalès après l'avoir justifié.

2) a) I est le milieu de [QR] donc par associativité du barycentre.

Tout ceci est justifié car la masse des systèmes de points utilisés n'est jamais nulle.

Mêmes raisonnements pour b) et c).

3)a) Le cours dit qu'il y a un barycentre ssi la masse totale est non nulle. Ici la masse totale est
qui est bien différent de 0 ssi x est différent de 3.

b) D'après 2)a), donc tjs par associativité du barycentre,
donc .

De la même façon, est sur les deux autres droites donc les trois droites sont concourantes en .

4) b) Il faut déterminer toutes les valeurs prises par la fonction et ensuite il faudra deviner une relation du type pour conclure.

Posté par Chiyoko Chiyoko

Merci Annakin47 grâce à toi je n'aurais pas 0 à mon DM de maths ^^