Officiel de la Taupe 142a

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Si |a|>1 alors la suite (uⁿ) tend vers +oo.

Si |a|<1 alors la suite converge vers

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est-ce qu'on peut examiner l'intersection de f(x) = |x² - 1/4| avec y=x et voir que, selon a (qu'il reste encore à examiner ), la limite sera :

¤ ( V2 + 1 )/2
ou
¤ ( V2 -1 )/2

serait-ce accepté ?

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Bonsoir.
Le résultat ne dépend  pas de la position de |a| par rapport à 1, mais de la position de |a| par rapport à  ...

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C'est l'idée de départ.
Mais il reste à faire la démonstration  

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ok alors, la frontière sur a serait (V2 + 1)/2

¤ |a| < (V2 + 1)/2 la limite est ( V2 - 1 )/2
ou
¤ |a| > (V2 + 1)/2 la limite est +oo

A vérifier

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C'est le bon résultat  

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même si le résultat fourni est le bon, n'hésite pas à mettre une solution commentée rigoureuse

Pour ma part, je l'ai plus résolue "au feeling", et la rigueur de démonstration n'est pas mon fort...

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La première chose à faire, quand on étudie une suite récurrente est d'étudier la fonction , tracer sa courbe représentative , la droite d'équation , et étudier la position de par rapport à (voir le dessin plus loin).
Ici, on peut se contenter de faire l'étude sur , puisque est paire
Les réels tels que sont et (non, je ne résouds pas l'équation, vous savez lefaire). On obtient également que:





Premier cas:
On démontre facilement par récurrence que: .

La suite est donc croissante. Si elle était majorée, elle convergerait vers une limite solution de l'équation (puisque est continue). Mais devrait également vérifier , ce qui est contradictoire.
Donc, la suite est croissante et non majorée, ce qui entraîne qu'elle a pour limite .

Deuxième cas:
Alors, est constante, de limite .

Troisième cas:
Alors, puisque l'image de par est égale à , on en déduit par récurrence que .
On remarque que sur cet intervalle est majorée en valeur absolue par . En appliquant l'inégalité des accroissements finis:
Donc:
On en déduit que est de limite .

Quatrième cas:
Comme l'image de l'intervalle par est incluse dans , on en déduit par récurrence que .
Supposons par l'absurde que . Alors, comme appartient à l'intervalle , on a, pour tout de . La suite serait décroissante minorée par et elle convergerait. étant continue, la limite de serait donc une solution de l'équation , strictement comprise entre et , ce qui n'est pas possible.

Donc, il existe un entier tel que . D'après l'étude du cas précédent, est convergente, de limite .

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- Si |a| > (1+V2)/2 la suite diverge

- Si |a| = (1+V2)/2 , la suite est constante à partir de U(0) si a = (1+V2)/2 et à partir de U(1) si a = -(1+V2)/2

- Si |a| = (-1 + V2)/2, la suite est constante à partir de U(0) si a = (-1+V2)/2 et à partir de U(1) si a = -(-1+V2)/2

- Si |a| dans [0 ; (-1 + V2)/2[ U ](-1 + V2)/2 ; (1 + V2)/2[ la suite converge vers (-1+V2)/2

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on peut considérer a comme positif, car s'il était négatif, cela reviendrait au même de le remplacer par son opposé
il y a une valeur critique c au-dessus de laquelle la valeur de départ donne une suite strictement croissante
valeur critique : c²-1/4 = c; c²-c-1/4 = 0; c = (1+V2)/2

soit U(n) = (1+V2)/2 + d = (1+V2+2d)/2 (d étant positif)
U(n)²-1/4 - U(n) = [(1+2+4d²+2V2+4d+4dV2)/4 - 1/4] - [(2+2V2+4d)/4]
= (1+2+4d²+2V2+4d+4dV2-1-2-2V2-4d)/4
= (d²+4dV2)/4 = un nombre positif

quand la valeur de départ = c = (1+V2)/2, la suite est constante

une autre valeur de départ, g (comme grenz), donne une suite constante : 1/4-g² = g; g²+g-1/4 = 0; g = (-1+V2)/2
soit h le nombre tel que h²-1/4 = g; si la valeur de départ est comprise entre h et c, la suite finira par avoir une valeur entre h et g; dès lors, la suite sera alternativement au-dessus et au-dessous de g en s'en approchant; si la valeur de départ est inférieure à g, l'alternance et l'approche sont immédiates

si U(n) est compris entre 0,5 et h,  U(n)²-1/4 est positif, inférieur à g et plus proche de g que ne l'est U(n)
si U(n) est compris entre g et 0,5, U(n)²-1/4 est négatif et sa valeur absolue est inférieure à g et plus proche de g que ne l'est U(n)
soit U(n) = g+d = (-1+V2+2d)/2 (0 < d < 0,5-g = 1 - V2/2
g-(Un+1) = (-2+2V2)/4 - (1/4) + (1+2+4d²-2V2-4d+4dV2)/4
= -2+2V2-1+1+2+4d²-2V2-4d+4dV2)/4 = d²-d+dV2
d²-d+dV2 est positif, donc g > U(n+1)
le rapport (d²-d+dV2)/d = d + (V2-1); il est inférieur à 1- V2/2 +V2 - 1 = V2/2
donc U(n)+1) est plus de V2 plus proche de g que ne l'est U(n)

si U(n) est inférieur à g, avec un raisonnement semblable, on arriverait à un résultat analogue

conclusion : croissance divergente pour |a| > (V2+1)/2
constance pour |a| = (V2+1)/2 et |a| = (V2-1)/2 (à partir de U(1) si a est négatif
convergence vers (V2-1)/2 pour (-V2-1)/2 < a < (v2+1)/2